Question

18．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作ED∥AC，两线相交于点E．
（1）求证：四边形AODE是菱形；
（2）连接BE，交AC于点F．若BE⊥ED于点E，求∠AOD的度数．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形AODE是平行四边形，再由矩形的性质得出OA=OC=OD，即可得出四边形AODE是菱形；
（2）连接OE，由菱形的性质得出AE=OB=OA，证明四边形AEOB是菱形，得出AB=OB=OA，证出△AOB是等边三角形，得出∠AOB=60°，再由平角的定义即可得出结果．

解答 （1）证明：∵AE∥BD，ED∥AC，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，
∴OA=OC=OD，
∴四边形AODE是菱形；
（2）解：连接OE，如图所示：
由（1）得：四边形AODE是菱形，
∴AE=OB=OA，
∵AE∥BD，
∴四边形AEOB是平行四边形，
∵BE⊥ED，ED∥AC，
∴BE⊥AC，
∴四边形AEOB是菱形，
∴AE=AB=OB，
∴AB=OB=OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠AOD=180°-60°=120°．

点评 本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，证明四边形AEOB是菱形再进一步证出△AOB是等边三角形是解决问题（2）的关键．