Question

【题目】如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，动点P从点A出发，沿AD方向以每秒1个单位的速度运动，连接BP，作点A关于直线BP的对称点E，设点P的运动时间为t（s）．

（1）若AD＝6，P仅在边AD运动，求当P，E，C三点在同一直线上时对应的t的值．

（2）在动点P在射线AD上运动的过程中，求使点E到直线BC的距离等于3时对应的t的值．

Answer 1

【答案】（1）t＝（6﹣2）s时，P、E、C共线；（2）或4．

【解析】

（1）设AP＝t，则PD＝6﹣t，由点A、E关于直线BP对称，得出∠APB＝∠BPE，由平行线的性质得出∠APB＝∠PBC，得出∠BPC＝∠PBC，在Rt△CDP中，由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果；

（2）①当点E在BC的上方，点E到BC的距离为3，作EM⊥BC于M，延长ME交AD于N，连接PE、BE，则EM＝3，EN＝1，BE＝AB＝4，四边形ABMN是矩形，AN＝BM＝，证出△BME∽△ENP，得出，求出NP＝，即可得出结果；

②当点E在BC的下方，点E到BC的距离为3，作EH⊥AB的延长线于H，则BH＝3，BE＝AB＝4，AH＝AB+BH＝7，HE＝，证得△AHE∽△PAB，得出，即可得出结果．

解：（1）设AP＝t，则PD＝6﹣t，如图1所示：

∵点A、E关于直线BP对称，

∴∠APB＝∠BPE，

∵AD∥BC，

∴∠APB＝∠PBC，

∵P、E、C共线，

∴∠BPC＝∠PBC，

∴CP＝BC＝AD＝6，

在Rt△CDP中，CD2+DP2＝PC2，

即：42+（6﹣t）2＝62，

解得：t＝6﹣或6+（不合题意舍去），

∴t＝（6﹣）s时，P、E、C共线；

（2）①当点E在BC的上方，点E到BC的距离为3，作EM⊥BC于M，延长ME交AD于N，连接PE、BE，如图2所示：

则EM＝3，EN＝1，BE＝AB＝4，四边形ABMN是矩形，

在Rt△EBM中，AN＝BM＝，

∵点A、E关于直线BP对称，

∴∠PEB＝∠PAB＝90°，

∵∠ENP＝∠EMB＝∠PEB＝90°，

∴∠PEN＝∠EBM，

∴△BME∽△ENP，

∴，即，

∴NP＝，

∴t＝AP＝AN﹣NP＝；

②当点E在BC的下方，点E到BC的距离为3，作EH⊥AB的延长线于H，如图3所示：

则BH＝3，BE＝AB＝4，AH＝AB+BH＝7，

在Rt△BHE中，HE＝，

∵∠PAB＝∠BHE＝90°，AE⊥BP，

∴∠APB+∠EAP＝∠HAE+∠EAP＝90°，

∴∠HAE＝∠APB，

∴△AHE∽△PAB，

∴，即，

解得：t＝AP＝，

综上所述，t＝或．