Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过点O作OD⊥CB，垂足为点D，延长DO交⊙O于点E，过点E作PE⊥AB，垂足为点P，作射线DP交CA的延长线于F点，连接EF，

（1）求证：OD＝OP；（2）求证：FE是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

试题（2）证明△POE≌△ADO可得DO=EO；

（3）连接AE，BE，证出△APE≌△AFE即可得出结论．

试题解析：（1）∵∠EPO=∠BDO=90° ∠EOP=∠BOD

OE=OB

∴△OPE≌△ODB

∴OD="OP"

（2）连接EA，EB

∴∠1=∠EBC

∵AB是直径

∴∠AEB=∠C=90°

∴∠2+∠3=90°

∵∠3=∠DEB

∵∠BDE=90°

∴∠EBC+∠DEB=90°

∴∠2=∠EBC=∠1

∵∠C=90° ∠BDE=90°

∴CF∥OE

∴∠ODP=∠AFP

∵OD=OP

∴∠ODP=∠OPD

∵∠OPD=∠APF

∴∠AFP=∠APF

∴AF=AP 又AE=AE

∴△APE≌△AFE

∴∠AFE=∠APE=90°

∴∠FED=90°

∴FE是⊙O的切线