Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．

（1）若BC＝4，求AG的长；

（2）连接BF，求证：AB＝FB．

Answer 1

【答案】（1）AG的长为2；（2）详见解析．

【解析】

（1）根据正方形的性质可得AD＝DC＝BC＝4，∠ADC＝∠C＝90°，进而证明△DEC≌△AGD（ASA），再根据勾股定理即可求解；

（2）延长DE交AB延长线于点H，构造全等三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明结论．

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝DC＝BC＝4，∠ADC＝∠C＝90°，

∴∠ADF+∠GDF＝90°，

∵AG⊥ED交DE于点F，

∴∠AFD＝90°，

∴∠ADF+∠DAF＝90°，

∴∠GDF＝∠DAF，

∴△DEC≌△AGD（ASA）

∴DG＝CE，

∵点E是BC的中点，BC＝4，

∴EC＝BC＝2，

∴DG＝2，

∴AG＝＝＝,

∴AG的长为．

（2）如图所示，延长DE交AB延长线于点H，

∵E是BC中点，

∴BE＝CE，

∵∠C＝∠HBE＝90°，

∠DEC＝∠HEB，

∴△DCE≌△HBE（ASA）

∴BH＝DC，

∵DC＝AB，

∴BH＝AB，即点B是AH的中点，

∵∠AFH＝90°，

∴在Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．