【题目】如图,在菱形中,点在对角线上,延长交于点.
(1)求证:;
(2)已知点在边上,请以为边,用尺规作一个与相似,并使得点在上.(只须作出一个,保留作图痕迹,不写作法)
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;
【解析】
(1)根据菱形的性质可得:,再根据相似三角形的判定即可证出,从而得出结论;
(2)根据菱形的性质,可得DA=DC,从而得出∠DAC=∠DCA,可得只需做∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE,即可得出与相似,然后用尺规作图作∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE即可.
解:(1)∵四边形是菱形,
∴.
∴.
∴.
(2)∵四边形是菱形
∴DA=DC
∴∠DAC=∠DCA
∴只需做∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE,即可得出与相似,
尺规作图如图所示:
①作∠CPQ=∠AEF,步骤为:以点E为圆心,以任意长度为半径,作弧,交EA和EF于点G、H,以P为圆心,以相同长度为半径作弧,交CP于点M,以M为圆心,以GH的长为半径作弧,两弧交于点N,连接PN并延长,交AC于Q,就是所求作的三角形;
②作∠CPQ=∠AFE,作法同上;
或
∴就是所求作的三角形(两种情况任选其一即可).
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【题目】如下图1,将三角板放在正方形上,使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合,三角板的一边交于点.另一边交的延长线于点.
(1)观察猜想:线段与线段的数量关系是 ;
(2)探究证明:如图2,移动三角板,使顶点始终在正方形的对角线上,其他条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明:若不成立.请说明理由:
(3)拓展延伸:如图3,将(2)中的“正方形”改为“矩形”,且使三角板的一边经过点,其他条件不变,若、,求的值.
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【题目】如图,△ABC是边长为2的等边三角形,点D与点B分别位于直线AC的两侧,且AD=AC, 联结BD、CD,BD交直线AC于点E.
(1)当∠CAD=90°时,求线段AE的长.
(2)过点A作AH⊥CD,垂足为点H,直线AH交BD于点F,
①当∠CAD<120°时,设,(其中表示△BCE的面积,表示△AEF的面积),求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
②当时,请直接写出线段AE的长.
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【题目】已知二次函数的图象经过点.
(1)当时,若点在该二次函数的图象上,求该二次函数的表达式;
(2)已知点,在该二次函数的图象上,求的取值范围;
(3)当时,若该二次函数的图象与直线交于点,,且,求的值.
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【题目】某学校初中英语口语听力考试即将举行,准备了A、B、C、D四份听力材料,它们的难易程度分别是易、中、难、难;另有a、b是两份口语材料,它们的难易程度分别是易、难.
(1)从四份听力材料中,任选一份是难的听力材料的概率是 ;
(2)用树状图形或列表法,求出听力、口语两份材料都是难的一套模拟试卷的概率.
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【题目】有6张看上去无差别的卡片,上面分别写着1、2、3、4、5、6
(1)一次性随机抽取2张卡片,用列表或画树状图的方法求出“两张卡片上的数都是偶数”的概率
(2)随机摸取1张后,放回并混在一起,再随机抽取1张,直接写出“第二次取出的数字小于第一次取出的数字”的概率.
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【题目】数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度,已知CD=2m.经测量,得到其它数据如图所示.其中∠CAH=37°,∠DBH=67°,AB=10m,请你根据以上数据计算GH的长.(参考数据tan67°, tan37°)
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【题目】如图,O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点,CD=4cm,OD=3cm;过点C作CE∥DB,过点B作BE∥AC,CE与BE相交于点E.
(1)求证:四边形OBEC为矩形;
(2)求四边形ABEC的面积.
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