【题目】如图,已知抛物线与
轴交于点
、
,顶点为M.
(1)求抛物线的解析式和点M的坐标;
(2)点E是抛物线段BC上的一个动点,设的面积为S,求出S的最大值,并求出此时点E的坐标;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得以A、P、C为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1),M(1,4);(2)当
时,S最大=
,E(
,
);(3)存在,P1(1,
),P2(1,
),P3(1,1),P4(1,2).
【解析】
(1)将点、
的坐标代入函数解析式,列出方程组,通过解方程组求得
、
的值即可;利用配方法将函数解析式转化为顶点式,即可得到点
的坐标;
(2)利用待定系数法确定直线解析式,由函数图象上点的坐标特征求得点
、
的坐标,然后根据两点间的距离公式求得
长度,结合三角形的面积公式列出函数式,根据二次函数最值的求法求得点
的横坐标,易得其纵坐标,则点
的坐标迎刃而解了;
(3)需要分类讨论:点、
、
分别为直角顶点,利用勾股定理求得答案.
解:(1)抛物线
与
轴交于点
、
,
.
解得.
,则
;
(2)如图,作轴交
于点
,
,
直线
解析式为:
.
设,则
.
.
.
当时,S最大
.
此时,点的坐标是
,
;
(3)设,
、
,
,
,
.
①当时,
,即
.解得
.
②当时,
,即
.解得
.
③当时,
,即
.解得
或2.
综上所述,存在,符合条件的点的坐标是
或
或
或
,
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【题目】在绿化某县城与高速公路的连接路段中,需购买罗汉松、雪松两种树苗共400株,罗汉松树苗每株60元,雪松树苗每株70元.相关资料表明:罗汉松、雪松树苗的成活率分别为70%,90%.
(1)若购买这两种树苗共用去26500元,则罗汉松、雪松树苗各购买多少株?
(2)绿化工程来年一般都要将死树补上新苗,现要使该两种树苗来年共补苗不多于80株,则罗汉松树苗至多购买多少株?
(3)在(2)的条件下,应如何选购树苗,才能使购买树苗的费用最低?请求出最低费用.
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【题目】平面直角坐标系中,正方形OABC如图放置,反比例函数的图像交AB于点D,交BC于点E,已知A(
,0),∠DOE=30°,则k的值为( )
A.B.
C.3D.3
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【题目】2019年第七届世界军人运动会(7thCISMMilitaryWorldGames)于2019年10月18日至27日在中国武汉举行,这是中国第一次承办综合性国际军事赛事,也是继北京奥运会后,中国举办的规模最大的国际体育盛会.某射击运动员在一次训练中射击了10次,成绩如图所示.下列结论中不正确的有( )个
①众数是8;②中位数是8;③平均数是8;④方差是1.6.
A.1B.2C.3D.4
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【题目】如图,、
是两座现代化城市,
是一个古城遗址,
城在
城的北偏东
,在
城的北偏西
,
城在
城的正东方向,且
城与
城相距120千米,现在
、
两城市修建一条笔直的高速公路.
(1)请你计算公路的长度(结果保留根号);
(2)若以为圆心,以60千米为半径的圆形区域内为古迹和地下文物保护区,请你分析公路
会不会穿越这个保护区,并说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线的顶点是A(1,3),将OA绕点O逆时针旋转
后得到OB,点B恰好在抛物线上,OB与抛物线的对称轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)P是线段AC上一动点,且不与点A,C重合,过点P作平行于x轴的直线,与的边分别交于M,N两点,将
以直线MN为对称轴翻折,得到
.
设点P的纵坐标为m.
①当在
内部时,求m的取值范围;
②是否存在点P,使,若存在,求出满足m的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图是由边长为的小正方形构成的网格,每个小正方形的顶点叫做格点.四边形
的顶点在格点上,点
是边
边上的一点.请选择适当的格点,用无刻度的直尺在网格中完成下列画图,保留连线的痕迹,不要求说明理由.
(1)①过作
交
边于
;
②过作
于
点;
③在上作线段
(2)在(1)的条件下,连,若
为
边上的动点,在网格中求作一条线段
等于
的最小值.
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【题目】某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度图中线段MN的长
,直线MN垂直于地面,垂足为点
在地面A处测得点M的仰角为
、点N的仰角为
,在B处测得点M的仰角为
,
米,且A、B、P三点在一直线上
请根据以上数据求广告牌的宽MN的长.
参考数据:
,
,
,
,
,
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