Question

【题目】如图，AB是大半圆O的直径，AO是小半圆M的直径，点P是大半圆O上一点，PA与小半圆M交于点C，过点C作CD⊥OP于点D．
（1）求证：CD是小半圆M的切线；
（2）若AB=8，点P在大半圆O上运动（点P不与A，B两点重合），设PD=x，CD2=y． ①求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②当y=3时，求P，M两点之间的距离．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接CO、CM，如图1所示．

∵AO是小半圆M的直径，

∴∠ACO=90°即CO⊥AP．

∵OA=OP，

∴AC=PC．

∵AM=OM，

∴CM∥PO．

∴∠MCD=∠PDC．

∵CD⊥OP，

∴∠PDC=90°．

∴∠MCD=90°，即CD⊥CM．

∵CD经过半径CM的外端C，且CD⊥CM，

∴直线CD是小半圆M的切线

（2）解：①∵CO⊥AP，CD⊥OP，

∴∠OCP=∠ODC=∠CDP=90°．

∴∠OCD=90°﹣∠DCP=∠P．

∴△ODC∽△CDP．

∴ ．

∴CD2=DPOD．

∵PD=x，CD2=y，OP= AB=4，

∴y=x（4﹣x）=﹣x2+4x．

当点P与点A重合时，x=0；当点P与点B重合时，x=4；

∵点P在大半圆O上运动（点P不与A，B两点重合），

∴0＜x＜4．

∴y与x之间的函数关系式为y=﹣x2+4x，

自变量x的取值范围是0＜x＜4．

②当y=3时，﹣x2+4x=3．

解得：x1=1，x2=3．

（i）当x=1时，如图2所示．

在Rt△CDP中，

∵PD=1，CD= ．

∴tan∠CPD= = ，

∴∠CPD=60°．

∵OA=OP，

∴△OAP是等边三角形．

∵AM=OM，

∴PM⊥AO．

∴PM=

=

=2 ．

(ii)当x=3时，如图3所示．

同理可得：∠CPD=30°．

∵OA=OP，

∴∠OAP=∠APO=30°．

∴∠POB=60°

过点P作PH⊥AB，垂足为H，连接PM，如图3所示．

∵sin∠POH= = = ，

∴PH=2 ．

同理：OH=2．

在Rt△MHP中，

∵MH=4，PH=2 ，

∴PM=

=

=2 ．

综上所述：当y=3时，P，M两点之间的距离为2 或2 ．

【解析】（1）连接CO、CM，只需证到CD⊥CM．由于CD⊥OP，只需证到CM∥OP，只需证到CM是△AOP的中位线即可．（2）①易证△ODC∽△CDP，从而得到CD2=DPOD，进而得到y与x之间的函数关系式．由于当点P与点A重合时x=0，当点P与点B重合时x=4，点P在大半圆O上运动（点P不与A，B两点重合），因此自变量x的取值范围为0＜x＜4．②当y=3时，得到﹣x2+4x=3，求出x．根据x的值可求出CD、PD的值，从而求出∠CPD，运用勾股定理等知识就可求出P，M两点之间的距离．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行线的判定与性质的相关知识，掌握由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质，以及对勾股定理的概念的理解，了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．