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【题目】通过类比联想、引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例.

原题:如图①,点分别在正方形的边上,,连接,则,试说明理由.

1)思路梳理

因为,所以把绕点逆时针旋转90°,可使 重合.因为,所以,点共线.

根据 ,易证 ,得.请证明.

2)类比引申

如图②,四边形中,,点分别在边上,.都不是直角,则当满足等量关系时,仍然成立,请证明.

3)联想拓展

如图③,在中,,点均在边上,且.猜想应满足的等量关系,并写出证明过程.

【答案】1SAS,△AFE;(2;(3

【解析】

1)把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使ABAD重合,再证明△AFG≌△AFE进而得到EF=FG,即可得EF=BE+DF

2)∠B+D=180°时,EF=BE+DF,与(1)的证法类同;

3)根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE,根据旋转的性质,可知△AEC≌△ABE得到BE′=ECAE′=AE,∠C=ABE,∠EAC=EAB,根据RtABC中的,AB=AC得到∠EBD=90°,所以EB2+BD2=ED2,证△AED≌△AED,利用DE=DE得到DE2=BD2+EC2

1)∵AB=AD

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使ABAD重合,

∴∠BAE=DAG

∵∠BAD=90°,∠EAF=45°

∴∠BAE+DAF=45°

∴∠EAF=FAG

∵∠ADC=B=90°

∴∠FDG=180°,点FDG共线,在△AFE和△AFG中,

AE=AG,∠EAF=FAGAF=AF

∴△AFE≌△AFGSAS),

EF=FG,即:EF=BE+DF

2)∠B+D=180°时,EF=BE+DF

AB=AD

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使ABAD重合,

∴∠BAE=DAG

∵∠BAD=90°,∠EAF=45°

∴∠BAE+DAF=45°

∴∠EAF=FAG

∵∠ADC+B=180°

∴∠FDG=180°,点FDG共线,

在△AFE和△AFG中,

AE=AG,∠FAE=FAGAF=AF

∴△AFE≌△AFGSAS),

EF=FG,即:EF=BE+DF

3)猜想:DE2=BD2+EC2,理由如下:

根据ΔABD绕点A逆时针旋转90°得到ΔACD,如图,连接ED

ΔABDΔACD

CD′=BDAD′=AD,∠B=ACD,∠BAD=DAC

RtΔABC中,∵AB=AC

∴∠ABC=ACB=45°

∴∠ACB+ACD′=90°,即∠DCE=90°

DC2+CE2=DE2

又∵∠DAE=45°

∴∠BAD+EAC=45°

∴∠DAC+EAC=45°,即∠DAE=45°

ΔADEΔADE

ED=ED

DE2=BD2+EC2

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D的中点,

.

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)(填推理依据)

∴∠ADF=FAD )(填推理依据)

AF=DF )(填推理依据)

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