Question

5．已知关于x的方程 （1-a）x²+x+a-2=0．
（1）若该方程的一个根为2，求a的值及另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有实数根．

Answer 1

分析 （1）把x=2代入方程，求出a的值，再解方程求出另一根；
（2）分a=1和a≠1两种情况讨论方程根的情况即可．

解答 （1）解：将x=2代入方程（1-a）x²+x+a-2=0，得4（1-a）+2+a-2=0，解得a=$\frac{4}{3}$．
∴方程为-$\frac{1}{3}$x²+x-$\frac{2}{3}$=0，解得x₁=1，x₂=2．
所以方程的另一根为1．
（2）证明：①当a=1时，方程为x+1-2=0，解得x=1．
②当a≠1时，方程是一元二次方程，
∵△=1²-4（1-a）（a-2）=（2a-3）²≥0，
∴方程有实数根．
综上所述，不论a取何实数，该方程都有实数根．

点评 本题主要考查了根的判别式以及方程的解的知识，解答本题的关键是关键是掌握根的判别式的意义，注意要对方程进行分类讨论，此题难度不大．