Question

【题目】如图，平面直角坐标系xOy中，已知B(－1，0)，一次函数y＝－x＋5的图象与x轴，y轴分别交于点A，C两点，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点A，点B.

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)点P是该二次函数图象的顶点，求△APC的面积；

(3)如果点Q在线段AC上，且△ABC与△AOQ相似，求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】(1)y＝－x2＋4x＋5；(2) 15；(3) Q点坐标为或(2，3)

【解析】(1)、根据一次函数得出点A和点C的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数的解析式；(2)、首先根据二次函数得出点P的坐标，过点P作PD∥y轴交AC于点D，将三角形分成两个三角形来进行计算；(3)、根据三角形相似，分两种情况来进行计算，分别得出点Q的坐标．

(1)∵一次函数y＝－x＋5的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，

∴A(5，0)，C(0，5)．∵二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点A，点B，

∴b＝4，c＝5，∴二次函数的解析式为y＝－x2＋4x＋5；

(2)∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，∴P(2，9)．

过点P作PD∥y轴交AC于点D，如答图①，则D(2，3)．

∴S△APC＝ (xA－xC)(yP－yD)＝15；

(3)①若△ABC∽△AOQ，如答图②，此时，OQ∥BC.

由B，C两点坐标可求得BC的解析式为y＝5x＋5. ∴OQ的解析式为y＝5x.

由解得∴Q；

②若△ABC∽△AQO，如答图③，此时，＝.

∵AB＝6，AO＝5，AC＝5，∴AQ＝3，∴Q(2，3)．

综上所述，满足要求的Q点坐标为或(2，3)．