[题目]如图.平面直角坐标系中.已知点A(0.5).点P(m.5)在第二象限.连接AP.OP(1) 如图1.若OP＝6.求m的值(2) 如图2.点C在x轴负半轴上.以CP为斜边作直角三角形BCP.∠CBP＝90°.且∠BPC＝∠APO．取OC的中点D.连接AD.BD.求证:AD＝BD(3) 如图3.将△AOP沿直线OP翻折得到△EOP(点A的对应点为点E)．若点E到x轴� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，平面直角坐标系中，已知点A(0，5)，点P(m，5)在第二象限，连接AP、OP

(1) 如图1，若OP＝6，求m的值

(2) 如图2，点C在x轴负半轴上，以CP为斜边作直角三角形BCP，∠CBP＝90°，且∠BPC＝∠APO．取OC的中点D，连接AD、BD，求证：AD＝BD

(3) 如图3，将△AOP沿直线OP翻折得到△EOP（点A的对应点为点E）．若点E到x轴的距离不大于3，直接写出m的取值范围（无需解答过程）

【答案】（1）- （2）证明见解析（3）-10≤m≤-

【解析】

（1）根据勾股定理计算PA的长，可得m的值；

（2）如图2，作辅助线，构建平行四边形PMDN，得PM=DN，DM=PN，∠PMD=∠PND，又M、N分别为Rt△PBC、Rt△PAO斜边的中点，可得BM=MP，AN=PN，证明△DNA≌△BMD，得AD=BD；

（3）由条件可知点E的纵坐标大于或等于-3小于或等于3，分别计算点E的纵坐标为3和-3时m的值可得m的取值范围．

（1）由点A（0，5），点P（m，5）可知PA⊥y轴，

∵OP=6，OA=5，

由勾股定理可求PA=，

∴m=-；

（2）如图2，取CP、OP中点M、N，连接DM、DN、BM、AN，

∵D、M、N分别为OC、PC、PO的中点，

∴DM∥PO，DN∥PC，

∴四边形PMDN是平行四边形，

∴PM=DN，DM=PN，∠PMD=∠PND，

又M、N分别为Rt△PBC、Rt△PAO斜边的中点，

∴BM=MP，AN=PN，

∵∠BPC=∠APO

∴∠BMP=∠ANP，

∴∠BMP+∠PMD=∠ANP+∠PND，

∴∠DNA=∠BMD，

∴△DNA≌△BMD，

∴AD=BD；

（3）由条件可知点E的纵坐标大于或等于-3小于或等于3，

①当点E的纵坐标为3时，如图4，过点E作ES⊥x轴于S，交直线AP于R，

在Rt△OES中，OE=OA=5，ES=3，可求OS=AR=4，RE=2，

∵PA=PE=-m，PR=4+m，

在Rt△PRE中，由22+（4+m）2=（-m）2，

解得：m=；

②当点E的纵坐标为-3时，如图5，过点E作ES⊥x轴于S，交直线AP于R，

在Rt△OES中，OE=OA=5，ES=3，

∴OS=AR=4，

∴PR=10-4=6，

由勾股定理得：RE==8，

∵PA=PE=-m，PR=-4-m，

在Rt△△PRE中，由82+（4+m）2=（-m）2，

解得：m=-10，

综上所述，当-10≤m≤时，点E到x轴的距离不大于3.

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