Question

【题目】已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．

（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=4，BC=2 ，求CD的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵ED=EC，

∴∠EDC=∠C，

∵∠EDC=∠B，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC

（2）

解：连接AE，

∵AB为直径，

∴AE⊥BC，

由（1）知AB=AC，

∴BE=CE= BC= ，

∵CECB=CDCA，AC=AB=4，

∴ 2 =4CD，

∴CD=

【解析】（1）由等腰三角形的性质得到∠EDC=∠C，由圆外接四边形的性质得到∠EDC=∠B，由此推得∠B=∠C，由等腰三角形的判定即可证得结论；（2）连接AE，由AB为直径，可证得AE⊥BC，由（1）知AB=AC，由“三线合一”定理得到BE=CE= BC= ，由割线定理可证得结论．本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．