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【题目】(本小题满分10分)

如图,在ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F;再分别以点B、F为圆心,大于BF的相同长为半径画弧,两弧交于点P;连接AP并延长交BC于点E,连接EF,则所得四边形ABEF是菱形.

(1)根据以上尺规作图的过程,求证四边形ABEF是菱形;

(2)若菱形ABEF的周长为16,AE=4,求C的大小.

【答案】(1)详见解析;(2)60°.

【解析】

试题分析:(1)由作图过程可知,AB=AF,AE平分BAD,即可得BAE=EAF.再由四边形ABCD为平行四边形,可得BCAD,根据平行线的性质可得AEB=EAF,所以BAE=AEB,根据等腰三角形的性质可得AB=BE,即可得BE=AF,所以四边形ABEF为平行四边形,根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判定四边形ABEF为菱形;(2)连接BF,已知四边形ABEF为菱形,根据菱形的性质可得BF与AE互相垂直平分,BAE=FAE,OA=AE=.再由菱形ABEF的周长为16,可得AF=4.所以cosOAF=即可得OAF=30°,所以BAF=60°.再由平行线的性质即可得C=BAD=60°.

试题解析:

(1)由作图过程可知,AB=AF,AE平分BAD.∴∠BAE=EAF.

四边形ABCD为平行四边形,BCAD.∴∠AEB=EAF.

∴∠BAE=AEB,AB=BE.BE=AF.四边形ABEF为平行四边形.

四边形ABEF为菱形.

(2)连接BF,

四边形ABEF为菱形,BF与AE互相垂直平分,BAE=FAE.

OA=AE=菱形ABEF的周长为16,AF=4.

cosOAF=∴∠OAF=30°,∴∠BAF=60°.

四边形ABCD为平行四边形,∴∠C=BAD=60°.

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