Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的坐标为（3,0），与 轴交于点C（0,-3），顶点为D。

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标。
（2）联结AC，BC，求∠ACB的正切值。
（3）点P是x轴上一点，是否存在点P使得△PBD与△CAB相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
（4）M是抛物线上一点，点N在 轴，是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线过点B（3，0）C（0，-3）

∴

解得：

∴抛物线解析式为：y= -2x-3；

又∵ y=-2x-3= -4；

∴顶点D的坐标为：D（1，-4）。

（2）

解：作AH⊥BC于点H

∵ -2x-3=0

解得： =-1, =3

∴A(-1,0)

又∵OB=OC,∠B0C=90°

∴∠OBC=45°

∵AB=4

∴AH=BH=2

∵BC=3

∴CH=

∴tan∠ACB==2

（3）

解：作DG⊥OB于点G

∵BG=2,DG=4

∴tan∠DBG=2

∵tan∠ACB=2

∴∠DBG=∠ACB

当点P在点B的右侧时，∠PBD＞90°,

∴△PBD为钝角三角形与△CAB不相似

∴点P在点B的左侧

∴△PBD∽△CAB，且∠DBG=∠ACB

∴

或

∵BD=2

∴BP= 或BP=6

∴P（- ，0）或P（-3，0）

（4）

解：存在；N的坐标为：(2+,0); (2-,0) ; (-3,0)

【解析】（1）把点B与点C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解，把解析式整理成顶点式即可写出顶点坐标；（2）首先得出A点坐标，进而得出∠OBC=45°，BC=3 ， 再过点A做AH⊥BC,垂足为H，利用 tan∠ACB=,求出即可；（3）根据平行四边形对边平行且相等的性质得出M及N点坐标；检验即可得出答案。