Question

17．已知：点A（3，4）是y=$\frac{k}{x}$上一点，连接OA并反向延长交y=$\frac{k}{x}$于点B，试在直线y=2上找一点P，使△ABP为直角三角形，则点P的坐标为（$\sqrt{21}$，2）；（-$\sqrt{21}$，2）；（-11，2）；（$\frac{17}{3}$，2）．

Answer 1

分析 从∠APB为直角、∠ABP为直角、∠PAB为直角三个方面进行解答．当因为O为AB的中点，所以OP=$\frac{1}{2}$AB时，∠APB为直角；过点B作AB的垂线，分别交x轴和y=2于点D、P，过点B作x轴的垂线，分别交x轴和y=2于点C、E，分别求出BC、BE、CD的长，根据△BCD∽△BEP，求出EP的长，得到∠ABP为直角时点P的坐标，同理，求出∠PAB为直角时点P的坐标．

解答 解：根据反比例函数的性质，O为AB的中点，当OP=$\frac{1}{2}$AB时，∠APB为直角，
∵A点的坐标（3，4），∴B点的坐标（-3，-4），∴AB=2OA=2OB=10，
设P点的坐标为（x，2），
则x²+2²=5²，x=±$\sqrt{21}$，
∴点P的坐标为（$\sqrt{21}$，2），（-$\sqrt{21}$，2）；
如图：过点B作AB的垂线，分别交x轴和y=2于点D、P，过点B作x轴的垂线，分别交x轴和y=2于点C、E，
由题意可知：BC=4，BE=6，
由射影定理得：OD=$\frac{25}{3}$，CD=$\frac{16}{3}$，
∵△BCD∽△BEP，
∴$\frac{CD}{PE}$=$\frac{BC}{BE}$
PE=$\frac{\frac{16}{3}×6}{4}$=8，
∴点P的坐标为（-11，2）；

如图：同理可以求得：DP=$\frac{8}{3}$，
∴点P的坐标为（$\frac{17}{3}$，2）

∴点P的坐标为：（$\sqrt{21}$，2）；（-$\sqrt{21}$，2）；（-11，2）；（$\frac{17}{3}$，2）．

点评 本题考查了反比例函数、直角三角形和相似三角形的性质，体现了数形结合的思想，解题的关键是找出所有构成直角三角形的情形，然后根据图形的特点逐一进行解答，解答时，辅助线的正确添加非常重要．