Question

【题目】如图，线段BC=8,射线CG⊥BC，A为射线CG上一点，已知FA⊥AB且FA=AB，AE平分∠FAB,且E点满足∠EBA=∠ABC.

（1）求证：△ABE≌△AFE.

（2）证明：FD⊥BC.

（3）求△BED的周长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）16

【解析】

（1）根据SAS即可证明；

（2）由（1）可得∠F=∠ABE，由已知∠ABE=∠ABC等量代换可得∠F=∠ABC，由对顶角三角形可得∠FDB=∠FAB=90°，即可得出结论；

（3）由（1）可得BE=EF，过A作AH垂直FD，可证△ABC≌△AFH，可得FH=BC=8，再由AH=AC=CD=DH可以推出BD+DF=2BC，即可得出答案．

解：（1）证明：∵AE平分∠FAB，∴∠FAE=∠BAE，

在△BAE和△FAE中

，

∴△BAE≌△FAE（SAS）；

（2）证明：∵△BAE≌△FAE，

∴∠F=∠ABE，

∵∠ABE=∠ABC，

∴∠F=∠ABC，

∵∠BID=∠FIA，

∴∠FDB=∠FAB=90°，

即FD⊥BC；

（3）解：∵△BAE≌△FAE，

∴BE=EF，

∴BD+DE+BE=BD+DF，

过A作AH⊥FD于H，

在△ABC与△AFH中，

∴△ABC≌△AFH（AAS），

∴FH=BC=8，

又∵AH=AC=CD=DH，

∴BD+DF=BD+CD+FH=2BC=16，

即△BED的周长为16．