Question

2．如图，△ABC中，AC=BC，点D在BC上，作∠ADF=∠B，DF交外角∠ACE的平分线CF于点F．
（1）求证：CF∥AB；
（2）若∠CAD=20°，求∠CFD的度数．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的性质得到∠B=∠BAC，由三角形外角的性质得到∠ACE=∠B+∠BAC，求得∠BAC=$\frac{1}{2}∠ACE$，由角平分线的定义得到∠ACF=∠ECF=$\frac{1}{2}∠ACE$，等量代换得到∠BAC=∠ACF，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）由等量代换得到∠ACF=∠ADF，根据三角形的内角和得到∠ADF+∠CAD+∠AGD=180°，∠ACF+∠F+∠CGF=180°，由于∠AGD=∠CGF，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AC=BC，
∴∠B=∠BAC，
∵∠ACE=∠B+∠BAC，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}∠ACE$，
∵CF平分∠ACE，
∴∠ACF=∠ECF=$\frac{1}{2}∠ACE$，
∴∠BAC=∠ACF，
∴CF∥AB；

（2）解：∵∠BAC=∠ACF，∠B=∠BAC，∠ADF=∠B，
∴∠ACF=∠ADF，
∵∠ADF+∠CAD+∠AGD=180°，∠ACF+∠F+∠CGF=180°，
又∵∠AGD=∠CGF，
∴∠F=∠CAD=20°．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．