Question

6．已知：AB是⊙O的直径，DA、DC分别是⊙O的切线，点A、C是切点，连接DO交弧AC于点E，连接AE、CE．
（1）如图1，求证：EA=EC；
（2）如图2，延长DO交⊙O于点F，连接CF、BE交于点G，求证：∠CGE=2∠F；
（3）如图3，在（2）的条件下，DE=$\frac{1}{2}$AD，EF=2$\sqrt{5}$，求线段CG的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据切线的性质得到OA⊥DA，OC⊥DC，由垂直的定义得到∠DAO=∠DCO=90°，推出Rt△ODA≌Rt△ODC，根据全等三角形的性质得到∠EOA=∠EOC，由等腰三角形的判定得到结论；
（2）连接OC，BE，由（1）证得∠AOE=∠COE，根据圆周角定理得到∠B=$\frac{1}{2}$∠AOE，∠F=$\frac{1}{2}$∠COE，得到∠B=∠F，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠OEB，于是得到∠F=∠OEG，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（3）由圆周角定理得到∠ECF=90°求得OA=OE=$\frac{1}{2}$EF=$\sqrt{5}$，设DE=m，AD=2m，根据勾股定理列方程得到m₁=0（舍去），m₂=$\frac{{2\sqrt{5}}}{3}$，于是得到DA=$\frac{4}{3}\sqrt{5}$，DO=$\frac{5}{3}\sqrt{5}$，在Rt△ADO中，tan∠DOA=$\frac{DA}{OA}$=$\frac{4}{3}$，cos∠DOA=$\frac{OA}{DO}$=$\frac{3}{5}$，得到tan∠EGC=$\frac{4}{3}$，过点E作EH⊥AB于点H，在Rt△EOH中OH=OE•cos∠EOH=$\sqrt{5}•\frac{3}{5}$=$\frac{3}{5}\sqrt{5}$，于是得到EH=$\frac{4}{5}\sqrt{5}$AH=AO-OH=$\sqrt{5-}\frac{3}{5}\sqrt{5}$=$\frac{2}{5}\sqrt{5}$，根据勾股定理求得EC=2，根据三角函数的定义即可得到结论．

解答 （1）证明：如图1，连接OC，
∵DA、DC分别是⊙O的切线，点A、C是切点，OA、OC是半径，
∴OA⊥DA，OC⊥DC，
∴∠DAO=∠DCO=90°，
在Rt△ODA和Rt△ODC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OD}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ODA≌Rt△ODC，
∴∠EOA=∠EOC，
∴AE=CE；

（2）证明：如图2，连接OC，BE，由（1）证得∠AOE=∠COE，
又∵∠B=$\frac{1}{2}$∠AOE，∠F=$\frac{1}{2}$∠COE，
∴∠B=∠F，
∵OB=OE，
∴∠B=∠OEB，
∴∠F=∠OEG，
∵∠EGC是△EGF的外角，
∴∠EGC=∠F+∠GEF=2∠F，
即∠EGC=2∠F；

（3）解：∵EF是⊙O的直径，
∴∠ECF=90°
∵EF=2$\sqrt{5}$，
∴OA=OE=$\frac{1}{2}$EF=$\sqrt{5}$，
∵DE=$\frac{1}{2}$AD，设DE=m，
∴AD=2m，
在Rt△DAO中，OA²+DA²=OD²，
∴${（{\sqrt{5}}）^2}+{（{2m}）^2}={（{m+\sqrt{5}}）^2}$，
解得m₁=0（舍去），m₂=$\frac{{2\sqrt{5}}}{3}$，
∴DA=$\frac{4}{3}\sqrt{5}$，DO=$\frac{5}{3}\sqrt{5}$，
∴在Rt△ADO中，tan∠DOA=$\frac{DA}{OA}$=$\frac{4}{3}$，cos∠DOA=$\frac{OA}{DO}$=$\frac{3}{5}$，
∵∠EOA=2∠B，∠EGC=2∠F，
∴∠EGC=∠EOA，
∴tan∠EGC=$\frac{4}{3}$，
如图3，过点E作EH⊥AB于点H，
在Rt△EOH中OH=OE•cos∠EOH=$\sqrt{5}•\frac{3}{5}$=$\frac{3}{5}\sqrt{5}$，
∴EH=$\frac{4}{5}\sqrt{5}$AH=AO-OH=$\sqrt{5-}\frac{3}{5}\sqrt{5}$=$\frac{2}{5}\sqrt{5}$，
在Rt△EHA中，EA²=AH²+EH²，
∴EA=2，
∵AE=CE，
∴EC=2，
在Rt△ECG中，tan∠EGC=$\frac{EC}{GC}$=$\frac{2}{GC}=\frac{4}{3}$，
∴GC=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，三角形外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．