Question

【题目】如图，抛物线 y =-x2+3x +4 与x轴负半轴相交于A点，正半轴相交于B点，与 y 轴相交于C 点．

（1）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线 BC 对称的点的坐标；

（2）在（1）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）（0，1）；（2）（，）．

【解析】

(1)先求得点 C的坐标，判断出CD∥AB，求出CD=3，进而判断出点E在y轴上，进而求出CE=3，即可得出结论；
(2)先判断出∠CBD=∠PBF，进而判断出△BFP∽△BGD，再求出CG，DG，BG，进而得出，进而设出PF得出BF，OF，得出点P的坐标，代入抛物线解析式中，即可得出结论．

(1)将点(，)代入中，得：

，

解得：或3，

∵点在第一象限，

∴，

∴点D的坐标为(3，4)；

令，则，

解得：，

令，则，

由题意得A(-1，0)，B(4，0)，C(0，4)，

∴OC=OB=4，BC=，CD=3，

∵点C、点D的纵坐标相等，

∴CD∥AB，∠OCB=∠OBC=∠DCB=45°，

∴点D关于直线BC的对称点E在轴上．

根据对称的性质知：CD=CE=3 ，

∴，

∴点关于直线对称的点E的坐标为(0，1)；

(2)作PF⊥AB于F，DG⊥BC于G，

由(1)知OB=OC=4，∠OBC=45°．

∵，

∴∠CBD=∠PBF．

∵CD=3，∠DCB=45°，

∴CG=DG=，

∵BC=，

∴BG=

∴．

设，则，．

∴，

∵P点在抛物线上，

∴

解得：或t=0(舍去)．

∴点P的坐标为(，)．