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【题目】如图,在△ABC和△DEC中,∠ABC=∠DEC=90°,连接AD交射线EBF,AC∥DE,延长CA交射线EB于点G,点F恰好是AD中点。

1)求证:△AFG≌△DFE

2)若BC=CE

①求证:∠ABF=∠DEF

②若∠BAC=30°,试求∠AFG的度数。

【答案】1证明见解析2证明见解析②∠AFG=60°

【解析】试题分析:

1AG∥DE易得∠G=∠DEFFAD的中点易得AF=DF结合∠AFG=∠DFE,即可证得:△AGF≌△DEF

2BC=CE可得∠CBE=∠CEB,结合∠ABC=DEC=90°,易得∠ABF+∠CBE=90°∠CEB+∠DEF=90°,从而可得∠ABF=∠DEF

AGF≌△DEF可得G=DEFAG=DE结合ABF=DEF,可得ABF=G,从而可得AG=AB,这样即可得到AB=DE,结合ABC=DEC=90°BC=CE即可证得:ABC≌△DEC,由此可得AC=CDEDC=BAC=30°,结合ACDE可得ACD=EDC=30°从而可得CAD=;由∠BAC=G+ABG=30°结合∠G=ABG易得∠G=15°,结合∠CAD=G+AFG即可得到AFG=60°.

试题解析:

1∵AG∥DEFAD的中点,

∴∠G=∠DEFAF=DF

∵△AGF△DEF中,

∴△AGF≌△DEFAAS

2① ∵BC=CE

∴∠CBE=∠CEB

∠ABC=DEC=90°

∵∠ABF+∠CBE=90°∠CEB+∠DEF=90°

∴∠ABF=∠DEF

②∵△AGF≌△DEF

∴∠G=∠DEF

∵∠ABF=∠DEF

∴∠ABF=∠G

∴AG=AB

∵△AGF≌△DEF

∴AG=DE

∴DE=AB

∵△ABC△DEC中,

∴△ABC≌△DEC,(SAS

∴AC=CD∠BAC=∠EDC

∵AC∥DE

∴∠EDC=∠ACD

∴∠ACD=∠BAC=30°

∴∠CAD=75°

∵∠ABF=∠G∠BAC=30°

∴∠G=15°

∵∠CAD=∠G+∠AFG

∴∠AFG=60°.

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