【题目】在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.
(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系;
(2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由
(3)若|CF﹣AE|=2,EF=2,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长.
【答案】(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由见解析;(3)OP的长为或.
【解析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,证明△AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE;
(2)如图2中,延长EO交CF于K,由已知证明△ABE≌△BCF,△AOE≌△COK,继而可证得△EFK是等腰直角三角形,由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK,OF=OE;
(3)分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.
(1)如图1中,延长EO交CF于K,
∵AE⊥BE,CF⊥BE,∴AE∥CK,∴∠EAO=∠KCO,
∵OA=OC,∠AOE=∠COK,∴△AOE≌△COK,∴OE=OK,
∵△EFK是直角三角形,∴OF=EK=OE;
(2)如图2中,延长EO交CF于K,
∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°,
∴∠ABE+∠BAE=90°,∠ABE+∠CBF=90°,∴∠BAE=∠CBF,
∵AB=BC,∴△ABE≌△BCF,∴BE=CF,AE=BF,
∵△AOE≌△COK,∴AE=CK,OE=OK,∴FK=EF,
∴△EFK是等腰直角三角形,∴OF⊥EK,OF=OE;
(3)如图3中,点P在线段AO上,延长EO交CF于K,作PH⊥OF于H,
∵|CF﹣AE|=2,EF=2,AE=CK,∴FK=2,
在Rt△EFK中,tan∠FEK=,∴∠FEK=30°,∠EKF=60°,
∴EK=2FK=4,OF=EK=2,
∵△OPF是等腰三角形,观察图形可知,只有OF=FP=2,
在Rt△PHF中,PH=PF=1,HF=,OH=2﹣,
∴OP=.
如图4中,点P在线段OC上,当PO=PF时,∠POF=∠PFO=30°,
∴∠BOP=90°,
∴OP=OE=,
综上所述:OP的长为或.
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【题目】如图,在中,请按要求用尺规作出下列图形(不写作法,但要保留作图痕迹),并填空.
作出的平分线交于点;
作交于点平行依据是_____ __;
的度数为 .
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【题目】如图,已知∠MON=90,A是∠MON内部的一点,过点A作AB⊥ON,垂点为点B,AB=3厘米,OB=4厘米,动点E、F同时从O点出发,点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动,点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动,EF与OA交于点C,连接AE,当点E到达点B时,点F随之停止运动。设运动时间为t秒(t>0)。
(1)当t=1秒时,ΔEOF与ΔABO是否相似?请说明理由。
(2)在运动过程中,不论t取何值时,总有EF⊥OA,为什么?
(3)连接AF,在运动过程中,是否存在某一时刻t,使得SΔAEF=S四边形ABOF ?若存在,请求出此时t的值;若不存在,请说明理由。
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【题目】某爱心企业在政府的支持下投入资金,准备修建一批室外简易的足球场和篮球场,供市民免费使用,修建1个足球场和1个篮球场共需8.5万元,修建2个足球场和4个篮球场共需27万元.
(1)求修建一个足球场和一个篮球场各需多少万元?
(2)该企业预计修建这样的足球场和篮球场共20个,投入资金不超过90万元,求至少可以修建多少个足球场?
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【题目】如图,∠AOB=30°,P是∠AOB内的一点,且OP=4cm,C、D分别是P关于OA、OB的对称点,连结CD、PM、PN,则△PMN的周长为________.
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【题目】先阅读下面的解题过程,再解决问题.
解方程: x4 -6x2 +5=0.
这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的通常解法是:
设 x2 = y ,则原方程可化为 y2 -6y+5=0.①
解这个方程,得 y1 =1, y2 =5.当 y =1时, x=±1;当 y=5时, x=±.所以原方程有四个根: x1 =1, x2 =-1, x3 =, x4 =-.
(1)填空:在由原方程得到方程①的过程中,利用________法达到降次的目的,体现了________的数学思想.
(2)解方程:( x2 -x )2 -4(x2 -x )-12=0.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,点P是BC边上一动点,连结AP,AP的垂直平分线交BD于点G,交 AP于点E,在P点由B点到C点的运动过程中,∠APG的大小变化情况是( )
A. 变大 B. 先变大后变小 C. 先变小后变大 D. 不变
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