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【题目】ABC中,AB=BC,点OAC的中点,点PAC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.

(1)如图1,请直接写出线段OEOF的数量关系;

(2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OEOF之间的数量关系和位置关系,并说明理由

(3)若|CF﹣AE|=2,EF=2,当POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长.

【答案】(1)OF =OE;(2)OFEK,OF=OE,理由见解析;(3)OP的长为.

【解析】(1)如图1中,延长EOCFK,证明AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE;

(2)如图2中,延长EOCFK,由已知证明ABE≌△BCF,AOE≌△COK,继而可证得EFK是等腰直角三角形,由等腰直角三角形的性质即可得OFEK,OF=OE;

(3)分点PAO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.

(1)如图1中,延长EOCFK,

AEBE,CFBE,AECK,∴∠EAO=KCO,

OA=OC,AOE=COK,AOE≌△COK,OE=OK,

EFK是直角三角形,∴OF=EK=OE;

(2)如图2中,延长EOCFK,

∵∠ABC=AEB=CFB=90°,

∴∠ABE+BAE=90°,ABE+CBF=90°,∴∠BAE=CBF,

AB=BC,ABE≌△BCF,BE=CF,AE=BF,

AOE≌△COK,AE=CK,OE=OK,FK=EF,

EFK是等腰直角三角形,∴OFEK,OF=OE;

(3)如图3中,点P在线段AO上,延长EOCFK,PHOFH,

|CF﹣AE|=2,EF=2,AE=CK,FK=2,

RtEFK中,tanFEK=∴∠FEK=30°,EKF=60°,

EK=2FK=4,OF=EK=2,

OPF是等腰三角形,观察图形可知,只有OF=FP=2,

RtPHF中,PH=PF=1,HF=,OH=2﹣

OP=.

如图4中,点P在线段OC上,当PO=PF时,∠POF=PFO=30°,

∴∠BOP=90°,

OP=OE=

综上所述:OP的长为.

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