【题目】已知中,,,过顶点作射线.
(1)当射线在外部时,如图①,点在射线上,连结、,已知,,().
①试证明是直角三角形;
②求线段的长.(用含的代数式表示)
(2)当射线在内部时,如图②,过点作于点,连结,请写出线段、、的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)①详见解析;(2)();(2),理由详见解析.
【解析】
(1)①根据勾股定理的逆定理进行判断;
②过点C作CE⊥CD交DB的延长线于点E,利用同角的余角相等证明∠3=∠4,∠1=∠E,进而证明△ACD≌△BCE,求出DE的长,再利用勾股定理求解即可.
(2)过点C作CF⊥CD交BD的延长线于点F,先证∠ACD=∠BCF,再证△ACD≌△BCF,得CD=CF,AD=BF,再利用勾股定理求解即可.
(1)①∵
又∵
∴
∴△ABD是直角三角形
②如图①,过点C作CE⊥CD交DB的延长线于点E,
∵∠3+∠BCD=∠ACD=90°,∠4+∠BCD=∠DCE=90°
∴∠3=∠4
由①知△ABD是直角三角形
∴
又∵
∴∠1=∠E
在和中,
∴△ACD≌△BCE
∴,
∴
又∵,
∴由勾股定理得
∴()
(2)AD、BD、CD的数量关系为:,
理由如下:
如图②,过点C作CF⊥CD交BD的延长线于点F,
∵∠ACD=90°+∠5,∠BCF=90°+∠5
∴∠ACD=∠BCF
∵BD⊥AD
∴∠ADB=90°
∴∠6+∠7=90°
∵∠ACB=90°
∴∠9=∠8=90°
又∵∠6=∠8
∴∠7=∠9
和中
∴△ACD≌△BCF
∴CD=CF,AD=BF
又∵∠DCF=90°
∴由勾股定理得
又DF=BF-BD=AD-BD
∴
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【题目】小丽骑车从甲地到乙地,小明骑车从乙地到甲地,小丽的速度小于小明的速度,两人同时出发,沿同一条公路匀速前进.图中的折线表示两人之间的距离与小丽的行驶时间之间的函数关系.请你根据图像进行探究:
(1)小丽的速度是______,小明的速度是_________;
(2)求线段所表示的y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)若两人相距,试求小丽的行驶时间?
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【题目】如图,Rt△ABC的两直角边AC边长为4,BC边长为3,它的内切圆为⊙O,⊙O与边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F,延长CO交斜边AB于点G.
(1)求⊙O的半径长;
(2)求线段DG的长.
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【题目】已知:如图,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为BC的中点,E为AC上一点,点G在BE上,连接DG并延长交AE于F,若∠FGE=45°.
(1)求证:BDBC=BGBE;
(2)求证:AG⊥BE;
(3)若E为AC的中点,求EF:FD的值.
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【题目】结论:直角三角形中,的锐角所对的直角边等于斜边的一半.
如图①,我们用几何语言表示如下:
∵在中,,,
∴.
你可以利用以上这一结论解决以下问题:
如图②,在中,,,,,
(1)求的面积;
(2)如图③,射线平分,点从点出发,以每秒1个单位的速度沿着射线的方向运动,过点分别作于,于,于.设点的运动时间为秒,当时,求的值.
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【题目】如图,直线y=x+8与x轴,y轴分别交于点A,B,直线y=x+1与直线AB交于点C,与y轴交于点D.
(1)求点C的坐标.
(2)求△BDC的面积.
(3)如图,P是y轴正半轴上的一点,Q是直线AB上的一点,连接PQ.
①若PQ∥x轴,且点A关于直线PQ的对称点A′恰好落在直线CD上,求PQ的长.
②若△BDC与△BPQ全等(点Q不与点C重合),请写出所有满足要求的点Q坐标(直接写出答案).
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【题目】定义:和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆.
如图所示,已知:⊙I是△ABC的BC边上的旁切圆,E、F分别是切点,AD⊥IC于点D.
(1)试探究:D、E、F三点是否同在一条直线上?证明你的结论.
(2)设AB=AC=5,BC=6,如果△DIE和△AEF的面积之比等于m,,试作出分别以 , 为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程.
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【题目】如图,函数y= (x<0)的图象与直线y= x+m相交于点A和点B.过点A作AE⊥x轴于点E,过点B作BF⊥y轴于点F,P为线段AB上的一点,连接PE、PF.若△PAE和△PBF的面积相等,且xP=﹣ ,xA﹣xB=﹣3,则k的值是( )
A. ﹣5 B. C. ﹣2 D. ﹣1
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【题目】如图(1),,BD⊥AB,,点在线段上以的速度由点向点运动,同时,点在线段上由点向点运动,它们运动的时间为.
(1)若点的速度与点的速度相等,当时,求证:;
(2)在(1)的条件下,判断此时和的位置关系,并证明;
(3)将图(1)中的“,”,改为“”,得到图(2),其他条件不变.设点的运动速度为,请问是否存在实数,使得与全等?若存在,求出相应的和的值;若不存在,请说明理由.
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