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【题目】已知中,,过顶点作射线.

1)当射线外部时,如图①,点在射线上,连结,已知.

①试证明是直角三角形;

②求线段的长.(用含的代数式表示)

2)当射线内部时,如图②,过点于点,连结,请写出线段的数量关系,并说明理由.

【答案】(1)①详见解析;(2));(2,理由详见解析.

【解析】

1)①根据勾股定理的逆定理进行判断;

②过点CCECDDB的延长线于点E,利用同角的余角相等证明∠3=4,∠1=E,进而证明△ACD≌△BCE,求出DE的长,再利用勾股定理求解即可.

2)过点CCFCDBD的延长线于点F,先证∠ACD=BCF,再证△ACD≌△BCF,得CD=CFAD=BF,再利用勾股定理求解即可.

1)①∵

又∵

∴△ABD是直角三角形

②如图①,过点CCECDDB的延长线于点E

∵∠3+BCD=ACD=90°,∠4+BCD=DCE=90°

∴∠3=4

由①知△ABD是直角三角形

又∵

∴∠1=E

中,

∴△ACD≌△BCE

又∵

∴由勾股定理得

2ADBDCD的数量关系为:

理由如下:

如图②,过点CCFCDBD的延长线于点F

∵∠ACD=90°+5,∠BCF=90°+5

∴∠ACD=BCF

BDAD

∴∠ADB=90°

∴∠6+7=90°

∵∠ACB=90°

∴∠9=8=90°

又∵∠6=8

∴∠7=9

∴△ACD≌△BCF

CD=CFAD=BF

又∵∠DCF=90°

∴由勾股定理得

DF=BF-BD=AD-BD

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.

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