Question

如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF与BE交于G，DF与CE交于H．求证：四边形EGFH为菱形．

Answer 1

考点：菱形的判定,矩形的性质

专题：证明题

分析：根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边形，可证明四边形AECF、BEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得GF与EH、EG与FH的关系，根据平行四边形的判定，可得EGFH的形状，根据三角形全等，可得EG与FG的关系，根据菱形的定义，可得证明结论．

解答：证明：∵在矩形ABCD中AD=BC，且E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE=DE=BF=CF
又∵AD∥BC，
∴四边形AECF、BEDF是平行四边形．
∴GF∥EH、EG∥FH．
∴四边形EGFH是平行四边形．
在△AEG和△FBG中，

∠AEG=∠FBG ∠EAG=∠BFG AE=BF

，
∴△AEG≌△FBG（AAS）
∴EG=GB，AG=GF，
在△ABE和△BAF中
∵

AE=BF ∠EAB=∠ABF AB=AB

，
∴△ABE≌△BAF（SAS），
∴AF=BE，
∵EG=GB=

1

2

BE，AG=GF=

1

2

AF，
∴EG=GF，
∴四边形EGFH是菱形．

点评：考查了菱形的判定，牢记有关菱形的判定定理是解答本题的关键，难度不大．