Question

菱形ABCD中，AB=

2

，∠B=45°，求AC²和BD²．

Answer 1

考点：菱形的性质

专题：

分析：作出图形，过点A作AE⊥BC于E，判断出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AE=BE=1，再求出CE，然后利用勾股定理列式计算即可求出AC²，利用菱形的面积列式求出AC•BD，然后代入进行计算即可求出BD²．

解答：解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
∵∠B=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=BE=

2

2

AB=

2

2

×

2

=1，
∴CE=BC-BE=

2

-1，
在Rt△ACE中，AC²=AE²+CE²=1²+（

2

-1）²=4-2

2

；
∵S_菱形=BC•AE=

1

2

AC•BD，
∴AC•BD=2

2

，
∴（4-2

2

）•BD²=（2

2

）²，
∴BD²=4+2

2

．

点评：本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，难点在于利用菱形的面积的两种表示方法求出AC•BD．