Question

（本题满分12分）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D．

（1）如图1，连接BD并延长BD交AC于点E，连接AD．

①证明：△CDE∽△CAD；

②若AB＝2，AC＝2．求CD和CE的长；

（2）如图2，过点C作⊙O的另一条切线，切点为F，连结AF、BF，若OC＝BF，求的值．

Answer 1

（1）①见解析；②CD=2；CE=

（2）

【解析】

试题分析：（1）①因为两个三角形有一公共角，所以只需要再证明一个角对应相等即可，根据条件AC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，利用互余的关系可证∠CAD=∠CDE;②在Rt△AOC中，由勾股定理可求OC=3，由△CDE∽△CAD，可得出CE=；（2）设圆的半径为r，由△ABF∽△COA，得，在Rt△COA中，由勾股定理可得CA=，从而可得．

试题解析：（1）①证明：因为AC是⊙O的切线，所以∠1+∠BAD=90°，又因为AB是⊙O的直径，所以∠B+∠BAD=90°，所以∠1=∠B, 又OB=OD,所以∠2=∠B，又∠2=∠3，所以∠3=∠B,所以∠1=∠3，又∠C=∠C，所以△CDE∽△CAD；

②在Rt△AOC中，OC=,所以CD=OC-OD=3-1=2，又△CDE∽△CAD，所以,所以,CE= ;（2）设圆的半径为r，由△ABF∽△COA，，所以,所以，又OC=BF,AB=2r,OA=r,所以，所以，OC=3r，在Rt△COA中，由勾股定理可得CA= ，所以．

考点：1．切线的性质；2． 勾股定理；3．相似三角形的判定与性质．