Question

已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE；∠DAB=∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点.

（1）探索发现：

     如图1，若∠DAB=60°，则∠AFG=      ； 如图2，若∠DAB=90°，则∠AFG=      ；

（2）探究证明：如图3，若∠DAB=，试探究∠AFG与的数量关系？并给予证明；

（3）动手实践：

如果∠ACB为锐角，AB≠AC，∠BAC≠90°，点M在线段BC上运动，连接AM，以AM为一边，以点A为直角顶点，且在AM的右侧作等腰直角△AMN，连接NC；试探究：若NC⊥BC（点C、M重合除外），则∠ACB等于多少度？请同学们自己动手画出相应图形，并说明理由.（画图不写作法）

Answer 1

解：（1）60°，45°；

（2）解：连接AG

∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAC=∠BAE.

又AD=AB，AC=AE，

∴△ADC≌△ABE（SAS）

∴∠1=∠2.

又，，于是DG=BF.且AD=AB，

∴△ADG≌△ABF（SAS）

∴AG=AF且∠DAG=∠BAF，于是易得∠GAF=∠DAB=.

也就是说△AGF为顶角为的等腰三角形，

∴∠AFG=.

          (3)简易画图步骤：1.先画等腰直角三角形AMN；

2.找个点C，使得CM⊥CN；

3.在CM延长线上任取一点B，连接AB，AC.(作图不计分)

解：过点A作AC的垂线交BC于点G

由于∠1与∠2均与∠MAC互余，∴∠1=∠2.

由于∠3与∠4均与∠ACM互余，∴∠3=∠4.

又AM=AN，∴△AMG≌△ANC（AAS）.

∴AG=AC.又AG⊥AC，

∴△AGC为等腰直角三角形.

∴∠ACB=∠ACG=45°.