Question

【题目】如图，是的直径，为的弦，，与的延长线交于点，点在上， 满足．

（1）求证：是的切线；

（2）若，， 求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，再根据等腰三角形的性质和已知条件证出∠OBC=90°，即可得出结论；

（2）根据圆周角定理得到∠ABD=90°，得到∠A=60°，求得∠E=30°，根据等腰三角形的性质得到CE=CB，根据三角形外角的性质得到∠BCO=60°，解直角三角形即可得到结论．

（1）证明：连接OB，如图，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD=90°，

∴∠A+∠ADB=90°，

∵OA=OB，

∴∠A=∠OBA，

∵∠CBE=∠ADB，

∴∠OBA+∠CBE=90°，

∴∠OBC=180°-90°=90°，

∴BC⊥OB，

∴BC是⊙O的切线；

（2）∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD=90°，

∴∠A=60°，

∵OE⊥AD，

∴∠AOE=90°，

∴∠E=30°，

∵∠CBE=30°，

∴∠CBE=∠E=30°，

∴CE=CB，

∴∠BCO=60°，

在中

∴BC=OB=，

∴CE=．