Question

【题目】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（1，2）．

（1）当b＝1，c＝﹣4时，求该二次函数的表达式；

（2）已知点M（t﹣1，5），N（t+1，5）在该二次函数的图象上，请直接写出t的取值范围；

（3）当a＝1时，若该二次函数的图象与直线y＝3x﹣1交于点P，Q，将此抛物线在直线PQ下方的部分图象记为C，

①试判断此抛物线的顶点是否一定在图象C上？若是，请证明；若不是，请举反例；

②已知点P关于抛物线对称轴的对称点为P′，若P′在图象C上，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y＝5x2+x﹣4；（2）0＜t＜2；（3）①不是，反例见解析；②b＞4或b＜﹣2．

【解析】

（1）将点A的坐标和b、c的值代入y＝ax2+bx+c中便可求得a的值，问题便可解决；

（2）由点M，N的坐标推出该二次函数的对称轴是直线x＝t，结合抛物线 （a＞0）开口向上推出点M，N分别落在点A（1，2）的左侧和右侧，由此可列出关于t的不等式组，解此不等式组即可；

（3）①如举反例抛物线y＝x2+1与直线y＝3x﹣1，判断它们有两个交点（即联立方程组有两组不同的解），并求出抛物线顶点坐标不在直线y＝3x﹣1之下便可；

②要使点P关于抛物线对称轴的对称点为P′在图象C上，则二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点必在C上，则当x＝﹣时，ax2+bx+c＜3x﹣1，得到一个关于a、b、c的不等式，把a＝1，A（1，2）代入y＝ax2+bx+c（a＞0）中，用b表示c，再把a＝1与c代入前面得到的关于a、b、c的不等式中，便可求得b的取值范围．

解：（1）把点A（1，2）．b＝1，c＝﹣4代入二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0），

得：2＝a+1﹣4

∴a＝5，b＝1，c＝﹣4，

∴二次函数的表达式为y＝5x2+x﹣4；

（2）∵点M（t﹣1，5），N（t+1，5）在该二次函数的图象上，

∴该二次函数的对称轴是直线x＝t，

∵抛物线 （a＞0）开口向上，A（1，2），M，N 在该二次函数图象上，且5＞2，

∴由二次函数的图象及性质得，点M，N分别落在点A的左侧和右侧，

∴t﹣1＜1＜t+1，

∴t的取值范围是0＜t＜2；

（3）①不是．反例如下：

若抛物线的解析式为y＝x2+1，则

把y＝3x﹣1代入上式，得x2+1＝3x﹣1，

整理得，x2﹣3x+2＝0，

∵△＝9﹣8＞0，

∴方程x2﹣3x+2＝0有两个不相等的实数根，

则抛物线y＝x2+1与直线y＝3x﹣1有两个交点，

∵y＝x2+1的顶点为（0，1）

当x＝0时，y＝3x﹣1＝﹣1＜1，

∴抛物线y＝x2+1的顶点在直线y＝3x﹣1的上方，

∴此抛物线的顶点不在图象C上．

②∵点P关于抛物线对称轴的对称点为P′，且P′在图象C上，

∴当a＝1时，该二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象的顶点在直线y＝3x﹣1下方，

∴当x＝﹣时，x2+bx+c＜3x﹣1，

即，

把A（1，2）代入y＝x2+bx+c中，得1+b+c＝2，故c＝1﹣b，

∴，

整理得b2﹣2b＞8，

∴（b﹣1）2＞9，

∴b﹣1＞3或b﹣1＜﹣3，

∴b＞4或b＜﹣2．