Question

17．梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF并延长并BC延长线于点G．
求证：EF∥AD∥BC，EF=$\frac{1}{2}$（AD+BC）．

Answer 1

分析 先证明△ADF≌△GCF得到AD=CG，再证明EF为△ABG的中位线，则EF∥BG，EF=$\frac{1}{2}$BG，易得EF∥AD∥BC，EF=$\frac{1}{2}$（AD+BC）．

解答 证明：∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠GCF，∠DAF=∠CGF，
∵F为CD的中点，
∴DF=CF，
在△ADF和△GCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠CGF}\\{∠ADF=∠GCF}\\{DF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△GCF（AAS），
∴AD=CG，
∵E是AB的中点，
∴EF为△ABG的中位线，
∴EF∥BG，EF=$\frac{1}{2}$BG，
∴EF∥AD∥BC，EF=$\frac{1}{2}$（BC+CG）=$\frac{1}{2}$（AD+BC）．

点评 本题考查了梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．也考查了三角形中位线性质．