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    9．如图，二次函数y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c的图象经过点A，B（-2，0），C（0，4），作直线AC，点M是二次函数图象上的一动点，过点作MD⊥x轴，垂足为点D，交直线AC于点N，连结CM．
    （1）求二次函数的表达式；
    （2）当四边形OCMD为矩形时，求点M的坐标；
    （3）设点M的横坐标为m，MN的长度为d，求d关于m的函数关系式；
    （4）若E是OC的中点，以点M、N、E、C为顶点的四边形为平行四边形，求m的值．

    分析 （1）将点B（-2，0）、C（0，4）分别代入y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c中，列出b和c的二元一次方程组，求出b和c的值即可；
    （2）若四边形OCMD为矩形，则∠MCO=∠CMD=90°，OC=MD，于是得到-$\frac{1}{2}$x2+x+4=4，求出x的值即可；
    （3）设直线AC的函数表达式为y=kx+b，令y=0，即-$\frac{1}{2}$x2+x+4=0，求出点A的坐标，进而求出直线AC的函数表达式，分M在N的上方和下方，结合m的取值范围，写出m和d的函数关系式；
    （4）根据题意首先求出OE的长，然后分点M在点N的上方时和下方时，令MN=2，求出m的值即可．

    解答 解：（1）将点B（-2，0）、C（0，4）分别代入y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c中，
    得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}×4-2b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=4}\end{array}\right.$，
    ∴所求二次函数表达式为y=-$\frac{1}{2}$x2+x+4；

    （2）若四边形OCMD为矩形，则∠MCO=∠CMD=90°，OC=MD．
    ∴-$\frac{1}{2}$x2+x+4=4，
    解得x1=0，x2=2．
    则点M坐标为（2，4）；

    （3）令y=0，即-$\frac{1}{2}$x2+x+4=0，
    解得x1=-2，x2=4．则点A坐标为（4，0）．
    设直线AC的函数表达式为y=kx+b．
    由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
    直线AC的函数表达式为y=-x+4．
    ∵点M的横坐标为m，
    ∴点M的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$x2+x+4），
    点N的坐标为（m，-m+4），
    当M在N的上方，即0≤m≤4时，d=-$\frac{1}{2}$m2+m+4-（-m+4）=-$\frac{1}{2}$m2+2m，
    当M在N的下方，即m＜0或m＞4时d=（-m+4）-（-$\frac{1}{2}$m2+m+4）=$\frac{1}{2}$m2-2m，
    综上d=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{m}^{2}+2m（0≤m≤4）}\\{\frac{1}{2}{m}^{2}-2m（m＜0或m＞4）}\end{array}\right.$．

    （4）∵点E是OC的中点，点C的坐标为（0，4），
    ∴OE=2，
    ①当点M在点N的上方时，MN=-$\frac{1}{2}$m2+2m=2，
    解得m1=m2=2，
    ∴m=2，
    ②当点M在点N的下方时，MN=$\frac{1}{2}$m2-2m=2，
    解得m1=2-2$\sqrt{2}$，m2=2+2$\sqrt{2}$，
    ∴m=2-2$\sqrt{2}$，m=2+2$\sqrt{2}$，
    综合所述，当以点M、N、E、C为顶点的四边形是平行四边形时，
    m的值为m1=2，m2=2-2$\sqrt{2}$，m3=2+2$\sqrt{2}$．

    点评 本题主要考查了二次函数的综合题，此题涉及到待定系数法求二次函数的解析式、矩形的性质、平行四边形的判定等知识，解答本题的关键是对M和N的位置分类讨论，此题最后两问都需要进行分类讨论，此题有一定的难度．

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