[再读教材]宽与长的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的矩形叫做黄金矩形．下面.我们用宽为4cm的矩形纸片折叠一个黄金矩形．第一步.在矩形纸片的一端.利用图①的方法折出一个正方形.然后把纸片展平．第二步.如图②.把这个正方形折成两个相等的矩形.再把纸片展平．第三步.折出内侧矩形的对角线AB.并把它折到图③中所示的AD处� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

14．【再读教材】
宽与长的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．

下面，我们用宽为4cm的矩形纸片折叠一个黄金矩形．
第一步，在矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把它折到图③中所示的AD处．
第四步，展平纸片，按照所得的D点折出DE，如图④…
【问题解决】
（1）图③中AB=2$\sqrt{5}$cm（保留根号）；
（2）你发现图④中有几个黄金矩形？请都写出来，并选择其中一个说明理由；
（3）在图③中，连接BD，以AQ、BD为两直角边作直角三角形，求该直角三角形斜边的长．
（4）在图③中落在AQ、FQ上各取一点S、T，是FS+ST的值最小，请直接写出这个最小值．

分析（1）连接AB，由折叠的性质，可得AC=2，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AB的长度．
（2）首先求出CD=2，ND，再由黄金矩形的定义即可作出判断．
（3）过点Q作QH⊥ND于点H，由tan∠QDH=tan∠ABM，可求出DH的长度，继而得出AH的长度，在Rt△AHQ中利用勾股定理求出AQ，继而可利用勾股定理可求出该直角三角形斜边的长；
（4）作FG⊥DQ于G，交AQ于S，作ST⊥FQ于T，如图③，由折叠的性质得∠BQA=∠DQA，根据角平分线性质得ST=SG，则FG=ST+SF，利用垂线段最短可判断FS+ST的最小值为FG的长，然后证明Rt△QDH∽Rt△FQG，再利用相似比计算FG即可．

解答解：（1）∵四边形MNCB是正方形，
∴NC=MN=4cm，
由折叠的性质得：AC=$\frac{1}{2}$NC=2cm，
连接AB，如图②：
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
故答案为2$\sqrt{5}$；

（2）图④中的黄金矩形有：矩形BCDE，矩形MNDE；
∵AD=2$\sqrt{5}$，AN=AC=2，
∴CD=2$\sqrt{5}$-2，ND=2$\sqrt{5}$+2，
∴$\frac{CD}{BC}$=$\frac{2\sqrt{5}-2}{4}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故矩形BCDE是黄金矩形；
∴$\frac{MN}{ND}$=$\frac{4}{2\sqrt{5}+2}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故矩形MNDE是黄金矩形．

（3）过点Q作QH⊥ND于点H，如图③所示：
由折叠的性质可得：∠ADQ=∠ABQ，
∴∠QDH=∠ABM，
∴tan∠QDH=tan∠ABM=$\frac{4}{2}$=$\frac{QH}{DH}$=$\frac{4}{DH}$，
∴DH=2，
∴AH=AD+DH=2$\sqrt{5}$+2，
在Rt△AQH中，AQ²=AH²+QH²=（2$\sqrt{5}$+2）²+16=40+8$\sqrt{5}$，
BD²=CD²+BC²=（2$\sqrt{5}$-2）²+16=40-8$\sqrt{5}$，
以AQ、BD为两直角边作直角三角形，则该直角三角形斜边长=$\sqrt{A{Q}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{80}$=4$\sqrt{5}$；

（4）作FG⊥DQ于G，交AQ于S，作ST⊥FQ于T，如图③，
由折叠的性质得∠BQA=∠DQA，
∴ST=SG，
∴FG=ST+SF，
即FS+ST的最小值为FG的长，
∵∠QDH=∠FQD，
∴Rt△QDH∽Rt△FQG，
∴$\frac{QH}{FG}$=$\frac{DQ}{FQ}$，即$\frac{4}{FG}$=$\frac{2\sqrt{5}}{2+2\sqrt{5}}$，
∴FG=$\frac{20+4\sqrt{5}}{5}$，
即FS+ST的最小值为$\frac{20+4\sqrt{5}}{5}$．

点评本题考查了几何变换的综合，涉及了折叠的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义，综合考察的知识点较多，解答本题需要我们具有扎实的基本功，数形结合，灵活解答．

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