Question

1．如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=$\sqrt{2}$，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径最短，如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，由Rt△ADB为等腰直角三角形，则AD=BD=1，即此时圆的直径为1，再根据圆周角定理可得到∠EOH=60°，则在Rt△EOH中，利用锐角三角函数可计算出EH=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，然后根据垂径定理即可得到EF=2EH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

解答 解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径最短，
如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，
在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=$\sqrt{2}$，
∴AD=BD=1，即此时圆的直径为1，
∵∠EOF=2∠BAC=120°，
而∠EOH=∠EOF，
∴∠EOH=60°，
在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=$\frac{1}{2}$•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵OH⊥EF，
∴EH=FH，
∴EF=2EH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即线段EF长度的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了垂线段最短和解直角三角形．