Question

5．如图，△BCD中，DE⊥BC于点E，点O为BE上一点，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点A，已知∠CDE=2∠B
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若CD=BD=2$\sqrt{3}$，求$\widehat{AD}$的长．

Answer 1

分析 （1）连结OD，如图，由DE⊥BC得到∠DOE+∠ODE=90°，由三角形外角性质得∠DOE=2∠B，加上∠CDE=2∠B，则∠CDE+∠ODE=90°，所以OD⊥CD，于是可根据切线的判定定理得到CD为⊙O的切线；
（2）设∠B=α，根据等腰三角形的性质得∠BDE=∠CDE=2α，∠B=∠C=α，再根据三角形内角和可计算出α=30°，接着在Rt△BDE中利用含30度的直角三角形三边的关系计算出DE=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{3}$，在Rt△ODE中利用锐角三角函数可计算出OD=2，然后根据弧长公式计算$\widehat{AD}$的长．

解答 （1）证明：连结OD，如图，
∵DE⊥BC，
∴∠DOE+∠ODE=90°，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠DOE=2∠B，
而∠CDE=2∠B，
∴∠CDE+∠ODE=90°，
即∠ODC=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD为⊙O的切线；

（2）解：设∠B=α，
∵CD=BD=2$\sqrt{3}$，DE⊥BC，
∴DE平分∠BDC，即∠BDE=∠CDE=2α，∠B=∠C=α，
∴α+α+2α+2α=180°，解得α=30°，
在Rt△BDE中，∵∠B=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{3}$，
在Rt△ODE中，∵∠DOE=2∠B=60°，
∴sin60°=$\frac{DE}{OD}$，
∴OD=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
∴$\widehat{AD}$的长=$\frac{60•π•2}{180}$=$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了弧长的计算．