Question

9．如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，tanB=$\frac{1}{2}$，cosC=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，AC=2$\sqrt{2}$，求sin∠ADC的值．

Answer 1

分析 过点A作AH⊥BC，根据余弦定理和正切值分别求出AH、BH，再根据AD是△ABC的中线，求出DH，再根据勾股定理求出AD，从而求出sin∠ADC的值．

解答 解：过点A作AH⊥BC交BC与点H，
∵cosC=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，AC=2$\sqrt{2}$，
∴AH=2，
∵tanB=$\frac{1}{2}$，
∴BH=4，
∵AD是△ABC的中线，
∴DH=1，
∴AD=$\sqrt{A{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴sin∠ADC=$\frac{AH}{AD}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了解直角三角形，用到的知识点是锐角三角函数值、勾股定理，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形．