Question

9．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=x²+bx+c与直线y=2x-6交于x轴正半轴上的B点，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点C，OB=3OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线的顶点，连接BD，CD，若线段BD上有一点P，使∠OCP+∠CDP=180°，求∠DCP的正切值；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上存在点E，作EF⊥CD，交直线CD于点F，使∠CEF=∠DCP，求出点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）先根据一次函数解析式求出B点坐标，再利用OB=3OA得到A点坐标，然后利用交点式可得抛物线解析式；
（2）过点D作DH⊥x轴于H，如图1，先配方得到y=（x-1）²-4，则D（1，-4），再利用∠OCP+∠CDP=180°，∠OCP+∠1+∠DCP=180°得∠CDP=∠1+∠PCD，而由DH∥OC得到∠1=∠CDH，所以∠PCD=∠HDB，然后在Rt△BDH中，利用正切的定义计算出tan∠HDB=$\frac{BH}{DH}$=$\frac{1}{2}$，从而得到tan∠PCD=$\frac{1}{2}$；
（3）分类讨论：当点F在射线CD上时，延长EF交y轴于M，过点D作DG⊥y轴于G，过点E作EK⊥y轴于K，如图2，易得C（0，-3），则CG=DG=1，△DCG为等腰直角三角形，所以∠DCG=45°，易得△CMF和△MEK都是等腰直角三角形；由②得tan∠CEF=tan∠DCP=$\frac{1}{2}$，若设CF=a，则EF=2a，MF=a，EM=3a，根据等腰直角三角形的性质得KM=KE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a，CM=$\sqrt{2}$CF=$\sqrt{2}$a，则OK=OM-KM=OC+CM-KM=3-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，于是可表示出E（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a-3），利用二次函数图象上点的坐标特征得（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a）²-2•$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a-3=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a-3，解得a₁=0（舍去），a₂=$\frac{7\sqrt{2}}{9}$，于是得到E（$\frac{7}{3}$，-$\frac{20}{9}$）；当点F在线段DC的延长线上时，用同样方法得E（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a-3），把E点坐标代入抛物线解析式得（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）²-2•$\frac{\sqrt{2}}{2}$a-3=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a-3，则可解得a₁=0（舍去），a₂=5$\sqrt{2}$，易得E（5，12），所以综上所述，E点坐标为（$\frac{7}{3}$，-$\frac{20}{9}$）或（5，12）．

解答 解：（1）当y=0时，2x-6=0，解得x=3，则B（3，0），
∵OB=3OA，
∴OA=1，
∴A（-1，0），
∴抛物线解析式为y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3；
（2）过点D作DH⊥x轴于H，如图1，
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴D（1，-4），
∴DH=4，OH=1，
∵∠OCP+∠CDP=180°，
而∠OCP+∠1+∠DCP=180°，
∴∠CDP=∠1+∠PCD，
∴DH∥OC，
∴∠1=∠CDH，
∴∠PCD=∠HDB
在Rt△BDH中，tan∠HDB=$\frac{BH}{DH}$=$\frac{3-1}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠PCD=$\frac{1}{2}$；
（3）当点F在射线CD上时，延长EF交y轴于M，过点D作DG⊥y轴于G，过点E作EK⊥y轴于K，如图2，
当x=0时，y=x²-2x-3=-3，则C（0，-3），
∵CG=OG-OC=4-3=1，DG=1，
∴CG=DG，
∴△DCG为等腰直角三角形，
∴∠DCG=45°，
∵EF⊥CD，
∴∠CMF=45°，
∴△CMF和△MEK都是等腰直角三角形，
由②得tan∠CEF=tan∠DCP=$\frac{1}{2}$，
设CF=a，则EF=2a，MF=a，
∴EM=3a，
∴KM=KE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a，CM=$\sqrt{2}$CF=$\sqrt{2}$a，
∵OK=OM-KM=OC+CM-KM=3+$\sqrt{2}$a-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a=3-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴E（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a-3），
∴E点在抛物线y=x²-2x-3上，
∴（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a）²-2•$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a-3=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a-3，
整理得9a²-7$\sqrt{2}$a=0，解得a₁=0（舍去），a₂=$\frac{7\sqrt{2}}{9}$，
∴E（$\frac{7}{3}$，-$\frac{20}{9}$）
当点F在线段DC的延长线上时，同样方法可得E（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a-3），
∴E点在抛物线y=x²-2x-3上
∴（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）²-2•$\frac{\sqrt{2}}{2}$a-3=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a-3，
整理得a²-5$\sqrt{2}$a=0，解得a₁=0（舍去），a₂=5$\sqrt{2}$，
∴E（5，12）．
综上所述，E点坐标为（$\frac{7}{3}$，-$\frac{20}{9}$）或（5，12）．

点评 本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰直角三角形的判定与性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质；会解一元二次方程．