Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．

①△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；

②当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）△OBC≌△ABD．证明见解析；（2）当点C的坐标为（3，0）时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．

【解析】

试题（1）先根据等边三角形的性质得OB＝AB，CB＝DB，∠ABO＝∠DBC＝60°，则∠OBC＝∠ABD.然后可根据“SAS”可判定△OBC≌△ABD；
（2）先根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，求得∠EAC=120°，进而得出以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，最后根据Rt△AOE中，OA=1，∠OEA=30°，求得AC=AE=2，据此得到OC=1+2=3，即可得出点C的位置．

试题解析：

证明：∵△AOB，△CBD都是等边三角形，

∴OB＝AB，CB＝DB，∠ABO＝∠DBC＝60°，

∴∠OBC＝∠ABD.

在△OBC和△ABD中，

∴△OBC≌△ABD(SAS)．

(2)∵△OBC≌△ABD，

∴∠BOC＝∠BAD＝60°.

又∵∠OAB＝60°，

∴∠OAE＝180°－60°－60°＝60°，

∴∠EAC＝120°，∠OEA＝30°，

∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰．

∵在Rt△AOE中，OA＝1，∠OEA＝30°，

∴AE＝2，

∴AC＝AE＝2，

∴OC＝1＋2＝3，

∴当点C的坐标为(3，0)时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．