Question

8．如图，一次函数y=$\frac{1}{2}$x+2的图象交x轴于点A，交y轴于点C，与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象交于点P，C为AP的中点，PB⊥x轴于点B
（1）求反比例函数的表达式；
（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据一次函数的解析式求得A、C的坐标，进而求得P的坐标，代入反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）中，利用待定系数法即可求解；
（2）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，根据菱形的特点得出D点的坐标．

解答 解：（1）直线y=$\frac{1}{2}$x+2中，令x=0，则y=2；令y=0，则x=-4；
∴A（-4，0），C（0，2）；
∵C为AP的中点，
∴P（4，4），
∵点P是反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象上的点，
∴m=4×4=16；
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{16}{x}$；
（2）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如图所示，连接DC与PB交于E，
∵四边形BCPD为菱形，
∴PB⊥CD，
∵C为AP的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=4
∴CE=DE=4，
∴CD=8，
将x=8代入反比例函数y=$\frac{16}{x}$得y=2，
∴D点的坐标为（8，2）
∴则反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D坐标为（8，2）．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，坐标与图形性质，菱形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．