Question

16．如图，抛物线y=ax²-bx-4a交x轴于点A、B，交y轴于点C，其中点B、C的坐标分别为B（1，0）、C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式，并用配方法把其化为y=a（x-h）²+k的形式，写出顶点坐标；
（2）已知点D（m，1-m）在第二象限的抛物线上，求出m的值，并直接写出点D关于直线AC的对称点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）由抛物线y=ax²+bx-4a经过A（1，0）、C（0，4）两点，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）由点D（m，1-m）在抛物线y=-x²-3x+4上，即可求得点D的坐标，则可求得∠CBO的度数，然后过点D作DF⊥BC于F，延长DE交y轴于E，又由点E即为点D关于直线BC的对称点，即可求得点E的坐标．

解答 解：（1）抛物线y=ax²+bx-4a经过A（1，0）、C（0，4）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b-4a=0}\\{-4a=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$．
∴此抛物线的解析式为y=-x²-3x+4．

（2）∵点D（m，1-m）在抛物线y=-x²-3x+4上，
∴-m²-3m+4=1-m，
解得m₁=-3，m₂=1．
∵点D在第二象限，
∴D（-3，4）．
令y=-x²-3x+4=0，
解得x₁=1，x₂=-4．
∴B（-4，0）．
∴∠CBO=45°．
连接DC，
易知DC∥BA，DC⊥CO，DC=3．
∴∠DCA=∠CAO=45°．
∴∠ACD=45°．
过点D作DF⊥BC于F，延长DE交y轴于E，
∴∠D=45°．
∴∠CFE=45°．
∴DF=CF=EF．
∴点E即为点D关于直线BC的对称点．
∴CD=CE=3，
∴OE=1
∴E（0，1）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线解析式的求法、等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和解析式的求法是解决问题的关键．