Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，A(0，2)，B(0，6)，动点C在直线y＝x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是_____．

Answer 1

【答案】3

【解析】

根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB的垂直平分线与直线y＝x的交点为点C，再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y＝x的交点为点C，求出点B到直线y＝x的距离可知以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线没有交点．

如图，AB的垂直平分线与直线y＝x相交于点C1，

∵A(0，2)，B(0，6)，

∴AB＝6﹣2＝4，

以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y＝x的交点为C2，C3，

过点B作BM⊥直线y=x，垂足为M，则有△AOB为等腰直角三角形，

∴BM=OM，MB2+OM2=AB2，

∵OB＝6，

∴点B到直线y＝x的距离为BM=6×＝3，

∵3＞4，

∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y＝x没有交点，

所以，点C的个数是1+2＝3，

故答案为：3．