【题目】如图,在平面直角坐标系中,A(0,2),B(0,6),动点C在直线y=x上.若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形,则点C的个数是_____.
【答案】3
【解析】
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB的垂直平分线与直线y=x的交点为点C,再求出AB的长,以点A为圆心,以AB的长为半径画弧,与直线y=x的交点为点C,求出点B到直线y=x的距离可知以点B为圆心,以AB的长为半径画弧,与直线没有交点.
如图,AB的垂直平分线与直线y=x相交于点C1,
∵A(0,2),B(0,6),
∴AB=6﹣2=4,
以点A为圆心,以AB的长为半径画弧,与直线y=x的交点为C2,C3,
过点B作BM⊥直线y=x,垂足为M,则有△AOB为等腰直角三角形,
∴BM=OM,MB2+OM2=AB2,
∵OB=6,
∴点B到直线y=x的距离为BM=6×=3
,
∵3>4,
∴以点B为圆心,以AB的长为半径画弧,与直线y=x没有交点,
所以,点C的个数是1+2=3,
故答案为:3.
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【题目】如图,在长方形中,
厘米,
厘米,点
沿
边从点
开始向点
以
厘米/秒的速度移动;点
沿
边从点
开始向点
以
厘米/秒的速度移动,如果
、
同时出发,用
(秒)表示移动的时间,那么:
(1)如图1,当为何值时,线段
的长度等于线段
的长度?
(2)如图2,当为何值时,
与
的长度之和是长方形
周长的
?
(3)如图3,点到达点
后继续以相同速度沿
边运动,到达点
后停止运动;点
到达点
后继续以相同速度沿
边运动,当点
停止运动时点
也停止运动.当点
在
边上运动时,
为何值可使线段
的长度等于线段
长度的一半?
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=12cm,BC=15cm,∠B=90°,DC=5cm.点P从点A向点D以lcm/s的速度运动,到D点停止,点Q从点C向B点以2cm/s的速度运动,到B点停止,点P,Q同时出发,设运动时间为t(s).
(1)用含t的代数式表示:AP= ;BQ= .
(2)当t为何值时,四边形PDCQ是平行四边形?
(3)当t为何值时,△QCD是直角三角形?
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【题目】已知:矩形ABCD中,AB=10,AD=8,点E是BC边上一个动点,将△ABE沿AE折叠得到△AB′E。
(1)如图(1),点G和点H分别是AD和AB′的中点,若点B′在边DC上。
①求GH的长;
②求证:△AGH≌△B′CE;
(2)如图(2),若点F是AE的中点,连接B′F,B′F∥AD,交DC于I。
①求证:四边形BEB′F是菱形;
②求B′F的长。
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【题目】材料一:我们可以将任意三位数记为,(其中
、
、
分别表示该数的百位数字,十位数字和个位数字,且
).显然
.
材料二:若一个三位数的百位数字,十位数字和个位数字均不为,则称之为“生数”,比如
就是一个“生数”,将“生数”的三个数位上的数字交换顺序,可产生出
个新的“生数”,比如由
可以产生出
、
、
、
、
这
个新“生数”,将这
个数相加,得到的和
称为由“生数”
生成的“完全数”
问题:(1)求证:任意一个“完全数”都可以整除;
(2)若一个四位正整数(
,
是整数)是由一个“生数”
(
,
,
、
是整数)产生的“完全数”,请求出这个“生数”
.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC为直径作⊙O,交AB于D,过点O作OE∥AB,交BC于E.
(1)求证:ED为⊙O的切线;
(2)如果⊙O的半径为,ED=2,延长EO交⊙O于F,连接DF、AF,求△ADF的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)首先连接OD,由OE∥AB,根据平行线与等腰三角形的性质,易证得≌
即可得
,则可证得
为
的切线;
(2)连接CD,根据直径所对的圆周角是直角,即可得 利用勾股定理即可求得
的长,又由OE∥AB,证得
根据相似三角形的对应边成比例,即可求得
的长,然后利用三角函数的知识,求得
与
的长,然后利用S△ADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF求得答案.
试题解析:(1)证明:连接OD,
∵OE∥AB,
∴∠COE=∠CAD,∠EOD=∠ODA,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠COE=∠DOE,
在△COE和△DOE中,
∴△COE≌△DOE(SAS),
∴ED⊥OD,
∴ED是的切线;
(2)连接CD,交OE于M,
在Rt△ODE中,
∵OD=32,DE=2,
∵OE∥AB,
∴△COE∽△CAB,
∴AB=5,
∵AC是直径,
∵EF∥AB,
∴S△ADF=S梯形ABEFS梯形DBEF
∴△ADF的面积为
【题型】解答题
【结束】
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【题目】【题目】已知,抛物线y=ax2+ax+b(a≠0)与直线y=2x+m有一个公共点M(1,0),且a<b.
(1)求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示);
(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N,求△DMN的面积与a的关系式;
(3)a=﹣1时,直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G,点G、H关于原点对称,现将线段GH沿y轴向上平移t个单位(t>0),若线段GH与抛物线有两个不同的公共点,试求t的取值范围.
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【题目】在年全国信息学奥利匹克联赛中,重庆八中学子再创辉煌,竞赛成绩全市领先,共
人获得全国一等奖,同时摘下高一年级组冠军,高二年级组第二名,包揽初二年级组冠、亚、季军.在校内选拔赛时,某位同学连续答题
道,答对一题得
分,答错一题扣
分,最终该同学获得
分。请问这位同学答对多少道题?下面共列出
个方程,其中错误的是( )
A.设答对了道题,则可列方程:
B.设答错了道题,则可列方程:
C.设答对题目得分,则可列方程:
D.设答错题目扣分,则可列方程
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【题目】如图,正方形ABCD中,,点E、F分别在边AD和边BC上,且
,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,点P自A→F→B方向运动,点Q自C→D→E→C方向运动若点P、Q的运动速度分别为1cm/s,3cm/s,设运动时间为
,当A 、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时则t= ________________
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【题目】有个填写运算符号的游戏:在“”中的每个□内,填入
中的某一个(可重复使用),然后计算结果.
(1)计算:;
(2)若请推算□内的符号;
(3)在“”的□内填入符号后,使计算所得数最小,直接写出这个最小数.
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