Question

如图，已知BC是⊙O的直径，点D为BC延长线上一点，点A为圆上一点，AB=AD，∠ADB=30°．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求

AC

的长．

Answer 1

考点：切线的判定,弧长的计算

专题：证明题

分析：（1）根据等腰三角形的性质由AD=AB得到∠B=∠ADB=30°，加上∠OAB=∠B=30°，则利用三角形外角性质可得∠AOD=60°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠OAD=90°，于是利用切线的判定定理可得AD是⊙O的切线；
（2）利用弧长公式计算

AC

的长．

解答：（1）证明：∵AD=AB，
∴∠B=∠ADB=30°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠B=30°，
∴∠AOD=∠OAB+∠B=60°，
∴∠OAD=180°-∠OAD-∠D=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）

AC

的长=

60•π•2

180

=

2

3

π．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了弧长的计算．