Question

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、CD、BC上，且EF⊥AG，垂足为M，那么AG与EF

 

（“相等”或“不相等”）
（2）如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠，使得点A落到边BC上．若BG=2cm，求出BE和EF的长度．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）可过点E作EH∥AD，证明Rt△ABG≌Rt△EHF即可得出结论．
（2）借助对称原理，根据勾股定理即可求出BE、AG的长；利用第（1）问中的结论即可获得EF的长．

解答：解：（1）如图（1）所示，过点E作EH∥AD，交CD于H；则四边形AEHD为矩形；
∴EH=AD=AB；
∵AG⊥EF，EH∥AD，
∴∠BAG+∠AEF=90°，∠AEF+∠FEH=90°，
∴∠BAG=∠FEH；在△ABG与△EHF中，
∵

∠BAG=∠FEH AB=EH ∠ABG=∠EHF

，∴△ABG≌△EHF（ASA）
∴AG=EF．
故答案为相等；


（2）如图（2），连接AG；
设BE=x，则AE=8-x；由对称原理得：EG=EA=8-x，∠AEF=∠GEF，
∴EF⊥AG；由问题（1）知：EF=AG；
∵四边形ABCD为正方形，∴∠EBG=90°；
由勾股定理得：AG²=8²+2²，AG=2

17

；
（8-x）²=x²+2²，解得x=

15

4

，
∴BE=

15

4

（cm），EF=2

17

（cm）．

点评：本题考查了全等三角形的判定及其性质、勾股定理、对称原理及其应用问题；对综合的分析问题、解决问题的能力提出了较高的要求．