Question

已知一次函数y=-

1

2

x+4与x轴交于点B，与y轴交于点A，P为AB的中点．                         
（1）Q若是坐标轴上一动点，当△PQB为等腰三角形时，求Q的坐标；
（2）若M是x轴上一点，L=PM+AM，当L为最短时，求M点坐标和L的长度；     
（3）若N点在坐标轴上，当△PBN∽△AOB时，求N点的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）分类讨论：当QB=PB，PB=PQ，当QB=PQ，根据等腰三角形的定义，可得答案；
（2）根据对称轴上的点到线段两端点的距离相等，可得AM+PM=AM+MC=PC，根据两点间的距离公式，可得答案，根据待定系数法，可得直线PC，根据函数值，可得相应自变量的值；
（3）根据相似三角形的性质，可得PN与BN的关系，根据解方程组，可得答案．

解答：解：（1）当x=0时，y=4，A（0，4），
当y=0时，-

1

2

x+4=0，解得x=8，B（8，0）．
P为AB的中点，得P（4，2），
PB=

(8-4)2+(0-2)2

=2

5

．
当QB=PB时，Q（8+2

5

，0），（8-2

5

，0），
当PB=PQ时，Q（0，0），
当QB=PQ时，设Q（t，0），
|8-t|=

(4-t)2+22

，
解得t=

11

2

，Q（

11

2

，0）；
（2）如图1：，
A、C关于x轴对称，CM=AM．
设直线PC的解析式是y=kx+b，函数图象经过点P（4，2），C（0，-4），

4k+b=2 b=-4

，解得

k= 3 2 b=-4

，
直线PC的解析式是y=

3

2

x-4，
当y=0时，

3

2

x-4=0，解得x=

8

3

，
即M（

8

3

，0），
L=AM+PM=PC=

(4-0)2+(2+4)2

=2

13

；

（3）当△PBN∽△AOB时，

PN

AO

=

BN

BO

，

PN

BN

=

AO

BO

=

1

2

，BN=2PN，
由勾股定理，得
PN²+NB²=PB²，
即5PN²=20，
解得PN=2，BN=4，ON=B0-BN=4，
即N（4，2）．

点评：本题考查了一次函数的综合题，（1）利用了等腰三角形的定义，（2）利用了轴对称的性质，（3）利用了相似三角形的性质．