Question

【题目】任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p、q是正整数，且p≤q）．如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并且规定F（n）＝．例如18＝1×18＝2×9＝3×6，这时就有F（18）＝．请解答下列问题：

(1)计算：F（24）；

(2)当n为正整数时，求证：F（n3+2n2+n）＝．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】

（1）根据最佳分解的意义，把24分解成两数的积，找出差的绝对值最小的两数，求比值即可；

（2）根据（1）的求法，确定差的绝对值最小的两数的特点，然后根据要求变形即可.

(1)∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，

其中4与6的差的绝对值最小，

∴F(24)＝＝.

(2)∵n3＋2n2＋n＝n(n＋1)2，

其中n(n＋1)与(n＋1)的差的绝对值最小，且(n＋1)≤n(n＋1)，

∴F(n3＋2n2＋n)＝＝.