Question

【题目】如图，矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，F为BE上一点，连接DF，过F作FG⊥DF交BC于点G，连接BD交FG于点H，若FD=FG，BF=3 ，BG=4，则GH的长为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：过点F作BC的垂线，分别交BC、AD于点M、N，则MN⊥AD，延长GF交AD于点Q，如图所示． ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD∥BC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=45°，
∴△MBF是等腰直角三角形，
∵BF=3 ，
∴BM=FM=3，
∵BG=4，
∴MG=1，
∵FD⊥FG，
∴∠DFG=90°，
∴∠DFN+∠MFG=90°，
∵∠DNF=90°，
∴∠NDF+∠DFN=90°，
∴∠NDF=∠MFG，
在DNF和△FMG中，
，
∴△DNF≌△FMG（AAS），
∴DN=FM=3，NF=MG=1，
由勾股定理得：FG=FD= ，
∵QN∥BC，
∴ = ，
∴ = ，
∴FQ= ，QN= ，
设GH=x，则FH= ﹣x，
∵QD∥AG，
∴ ，
∴ ，
x= ，
即GH= ．
故答案为： ．

作辅助线，构建相似三角形和全等三角形，先根据△ABF是等腰直角三角形求BM和FM的长，证明△DNF≌△FMG，得DN=FM=3，NF=MG=1；再利用AD∥BC和平行线分线段成比例定理依次列比例式，求QN和QF的长，设GH=x，列方程可求得GH的长．