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【题目】如图,的直径,的切线,切点为于点,点的中点.

(1)试判断直线的位置关系,并说明理由;

(2)的半径为2,求图中阴影部分的周长.

【答案】(1)直线相切;理由见解析;(2).

【解析】

1)连接OEOD,根据切线的性质得到∠OAC=90°,根据三角形中位线定理得到OEBC,证明△AOE≌△DOE,根据全等三角形的性质、切线的判定定理证明;

2)根据切线长定理可得DE=AE=2.5,由圆周角定理可得∠AOD=100°,然后根据弧长公式计算弧AD的长,从而可求得结论.

解:(1)直线DE⊙O相切,

理由如下:连接OEOD,如图,

∵AC⊙O的切线,

∴AB⊥AC

∴∠OAC=90°

EAC的中点,O点为AB的中点,

∴OE∥BC

∴∠1=∠B∠2=∠3

∵OB=OD

∴∠B=∠3

∴∠1=∠2

△AOE△DOE

OA=OD

1=2

OE=OE

∴△AOE≌△DOESAS

∴∠ODE=∠OAE=90°

∴DE⊥OD

∵OD⊙O的半径,

∴DE⊙O的切线;

2∵DEAE⊙O的切线,

∴DE=AE

EAC的中点,

∴DE=AE=AC=2.5

∠AOD=2∠B=2×50°=100°

阴影部分的周长=

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