Question

已知关于x一元二次方程：x²-2（m-1）x-3（m-1）²=0．
（1）试判断原方程根的情况？
（2）如果原方程的两实数根为x₁、x₂ 且满足

1

4

（x₁-x₂）²=|x₁|+|x₂|+3，求m的值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：（1）求出判别式的值，根据m的取值情况直接判断即可解决问题；
（2）将所给的等式恒等变形，求出x₁-x₂=6或x₁-x₂=-2（舍去），进而运用根与系数的关系即可解决问题．

解答：解：（1）∵△=4（m-1）²+12（m-1）²=16（m-1）²，
∴当m=1时，△=0，原方程有两个相等的实数根；
当m≠1时，△＞0，原方程有两个不相等的实数根．
（2）显然，当m=1时，x₁=x₂，此时

1

4

（x₁-x₂）²=|x₁|+|x₂|+3不成立，故m≠1，
∵x1•x2=-3(m-1)2＜0，
∴x₁、x₂符号相反，不妨设x₂＜0，
∵

1

4

（x₁-x₂）²=|x₁|+|x₂|+3，
∴

1

4

（x₁-x₂）²=x₁-x₂+3，
即(x1-x2)2-4(x1-x2)-12=0，
解得：x₁-x₂=6或x₁-x₂=-2（舍去），
∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2，
x1+x2=2(m-1)，x1•x2=-3(m-1)2，
∴4（m-1）²+12（m-1）²=36，
∴m-1=±

3

2

，
∴m=

5

2

或-

1

2

．

点评：该题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、求解或证明．