Question

如图，在△ABC中，∠A=90°，CD平分∠ACB交AB于D，AD＜AC，过C、D两点做⊙O，且圆心O在BC上．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）若CD=5，△ACD面积为6，求⊙O半径．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）由CD平分∠ACB得∠ACD=∠OCD，加上∠OCD=∠ODC，则∠ODC=∠ACD，根据平行线的判定方法得到OD∥AC，则∠ODB=∠A=90°，然后根据切线的判定定理即可得到AB与⊙O相切；
（2）⊙O交BC于E，连结DE，如图，先根据面积公式得到AD•AC=12，再利用勾股定理得AD²+AC²=CD²=25，利用完全平方公式变形后可计算出（AD+AC）²=49，则AD+AC=7，可解得AD=3，AC=4，然后证明Rt△CDE∽Rt△CAE，利用相似比计算出CE，则即可得到圆的半径．

解答：（1）证明：∵CD平分∠ACB交AB，
∴∠ACD=∠OCD，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ODC=∠ACD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠A=90°，
∴OD⊥AB，
∴AB与⊙O相切；
（2）解：⊙O交BC于E，连结DE，如图，
∵S_△ADC=

1

2

AD•AC=6，
∴AD•AC=12，
∵AD²+AC²=CD²=25，
∴（AD+AC）²-2AD•AC=25，
∴（AD+AC）²=49
∴AD+AC=7，
∴AD=3，AC=4，
∵CE为直径，
∴∠EDC=90°，
而∠ECD=∠DCA，
∴Rt△CDE∽Rt△CAE，
∴CD：CE=CA：CD，即5：CE=7：5
∴CE=

25

7

，
∴⊙O半径为

25

14

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了相似三角形的判定与性质．