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【题目】1)如图(1),已知:在ABC中,∠BAC90°ABAC,直线l经过点ABD⊥直线lCE⊥直线l,垂足分别为点DE.证明:DEBD+CE

2)如图(2),将(1)中的条件改为:在ABC中,ABACDAE三点都在直线l上,且∠BDA=∠AEC=∠BACα,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DEBD+CE是否成立?如成立;请你给出证明;若不成立,请说明理由.

3)拓展与应用:如图(3),DE是直线l上的两动点(DAE三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且ABFACF均为等边三角形,连接BDCE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,求证:DFEF

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.

【解析】

1)由条件可证明ABD≌△CAE,可得DACEAEBD,可得DEBD+CE

2)由条件可知∠BAD+CAE180°α,且∠DBA+BAD180°α,可得∠DBA=∠CAE,结合条件可证明ABD≌△CAE,同(1)可得出结论.

3)由(2)知,ADB≌△CAE,得到BDEA,∠DBA=∠CAE,再DBF≌△EAFSAS),得到DFEF,∠BFD=∠AFE,求出∠DFE=∠DFA+AFE=∠DFA+BFD60°,所以DEF为等边三角形.即可得到DFEF

解:(1)∵BDlCEl

∴∠BDA=∠AEC90°

又∵∠BAC90°

∴∠BAD+CAE90°,∠BAD+ABD90°

∴∠CAE=∠ABD

ABDCAE中,

∴△ABD≌△CAEAAS

BDAEADCE

DEAD+AE

DECE+BD

2)成立

∵∠BDA=∠AEC=∠BACα

∴∠DBA+BAD=∠BAD+CAE180°α

∴∠CAE=∠ABD

ADBCEA中,

∴△ADB≌△CEAAAS),

AEBDADCE

BD+CEAE+ADDE

3)由(2)知,ADB≌△CAE

BDEA,∠DBA=∠CAE

∵△ABFACF均为等边三角形,

∴∠ABF=∠CAF60°

∴∠DBA+ABF=∠CAE+CAF

∴∠DBF=∠FAE

BFAF

DBFEAF中,

∴△DBF≌△EAFSAS),

DFEF,∠BFD=∠AFE

∴∠DFE=∠DFA+AFE=∠DFA+BFD60°

∴△DEF为等边三角形.

DFEF

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