【题目】(1)如图(1),已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线l经过点A,BD⊥直线l,CE⊥直线l,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.
(2)如图(2),将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线l上,且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立;请你给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)拓展与应用:如图(3),D、E是直线l上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,求证:DF=EF.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.
【解析】
(1)由条件可证明△ABD≌△CAE,可得DA=CE,AE=BD,可得DE=BD+CE;
(2)由条件可知∠BAD+∠CAE=180°﹣α,且∠DBA+∠BAD=180°﹣α,可得∠DBA=∠CAE,结合条件可证明△ABD≌△CAE,同(1)可得出结论.
(3)由(2)知,△ADB≌△CAE,得到BD=EA,∠DBA=∠CAE,再△DBF≌△EAF(SAS),得到DF=EF,∠BFD=∠AFE,求出∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°,所以△DEF为等边三角形.即可得到DF=EF.
解:(1)∵BD⊥l,CE⊥l,
∴∠BDA=∠AEC=90°
又∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°,∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠CAE=∠ABD
在△ABD和△CAE中,
,
∴△ABD≌△CAE(AAS)
∴BD=AE,AD=CE,
∵DE=AD+AE,
∴DE=CE+BD;
(2)成立
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α,
∴∠CAE=∠ABD,
在△ADB和△CEA中,
,
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴AE=BD,AD=CE,
∴BD+CE=AE+AD=DE;
(3)由(2)知,△ADB≌△CAE,
∴BD=EA,∠DBA=∠CAE,
∵△ABF和△ACF均为等边三角形,
∴∠ABF=∠CAF=60°,
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,
∴∠DBF=∠FAE,
∵BF=AF
在△DBF和△EAF中,
,
∴△DBF≌△EAF(SAS),
∴DF=EF,∠BFD=∠AFE,
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°,
∴△DEF为等边三角形.
∴DF=EF.
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【题目】(1)如图①,在四边形ABCD中,AB∥DC,E是BC的中点,若AE是∠BAD的平分线,求证:AD=DC+AB,
(2)如图②,在四边形ABCD中,AB∥DC,F是DC延长线上一点,连接AF,E是BC的中点,若AE是∠BAF的平分线,求证:AB=AF+CF.
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【题目】某市对初二综合素质测评中的审美与艺术进行考核,规定如下:考核综合评价得分由测试成绩(满分100分)和平时成绩(满分100分)两部分组成,其中测试成绩占80%,平时成绩占20%,并且当综合评价得分大于或等于80分时,该生综合评价为A等.
(1)孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分,而综合评价得分为91分,则孔明同学测试成绩和平时成绩各得多少分?
(2)某同学测试成绩为70分,他的综合评价得分有可能达到A等吗?为什么?
(3)如果一个同学综合评价要达到A等,他的测试成绩至少要多少分?
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,将∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠,点C与点O恰好重合,则∠OEC的度数是( )
A. 106°B. 108°C. 110°D. 112°
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【题目】如图,已知△ABC是等边三角形,D为边AC的中点,AE⊥EC,BD=EC.
(1)求证:△BDA≌△CEA;
(2)请判断△ADE是什么三角形,并说明理由.
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【题目】如图:已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC中点,两边PE,PF分别交AB,AC于点E,F,给出以下五个结论:
①AE=CF;②∠APE=∠CPF;③△EPF是等腰直角三角形;④EF=AP;⑤S四边形AEPF= S△ABC .
当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A,B重合),上述结论中始终正确的序号有 .
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【题目】花粉的质量很小,一粒某种植物花粉的质量约为0.000037毫克,已知1克=1000毫克,那么0.000037毫克可用科学记数法表示为
A. 3.7×10﹣5克 B. 3.7×10﹣6克 C. 37×10﹣7克 D. 3.7×10﹣8克
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【题目】如图1,已知射线AP是∠MAN的角平分线,点B为射线AP上的一点且AB=10,过点B分别作BC⊥AM于点C,作BD⊥AN于点D,BC=6.
(1)在图1中连接CD交AB于点O.求证:AB垂直平分CD;
(2)从A,B两题中任选一题作答,我选择 题
A.将图1中的△ABC沿射线AP的方向平移得到△ABC,点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′.若平移后点B的对应点B′的位置如图2,连接DB′.
①请在图2中画出此时的△A′B′C′,并在图中标注相应的字母;
②若图2中的DB′∥A′C′,写出平移的距离.
B.将图1中的△ABC沿射线AP的方向平移得到△A′B′C′,点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′.
①在△A′B′C′平移的过程中,若点C′与点D的连线恰好经过点B,请在图3中画出此时的△A′B′C′,并在图中标注相应的字母;
②如图3,点C′与点D的连线恰好经过点B,写出此时平移的距离.
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【题目】近年来,我国煤矿安全事故频频发生,其中危害最大的是瓦斯,其主要成分是CO.在一次矿难事件的调查中现:从零时起,井内空气中CO的浓度达到4mg/L,此后浓度呈直线型增加,在第7小时达到最高值46mg/L,发生爆炸;爆炸后,空气中的CO浓度成反比例下降.如下图,根据题中相关信息回答下列问题:
(1)求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式,并写出相应的自变量取值范围;
(2)当空气中的CO浓度达到34mg/L时,井下3km的矿工接到自动报警信号,这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生?
(3)矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时,才能回到矿井开展生产自救,求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井.
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