Question

17．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
（1）求证：EB=GD且EB⊥GD；
（2）若AB=2，AG=$\sqrt{2}$，求EB的长度．

Answer 1

分析 （1）在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，得到∠GAD=∠EAB从而△GAD≌△EAB，即EB=GD；由∠AEB=∠AGD，∠EOH=∠AOG，即可得出∠EHG=∠EAG=90°；
（2）设BD与AC交于点O，由AB=AD=2在Rt△ABD中求得DB，利用勾股定理即可求得结果．

解答 证明：（1）如图1，

在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD
∴∠GAD=∠EAB，
∵四边形EFGA和四边形ABCD是正方形，
∴AG=AE，AB=AD，
在△GAD和△EAB中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠EAB=∠GAD}\\{AE=AG}\end{array}\right.$，
∴△GAD≌△EAB（SAS），
∴EB=GD；∠AEB=∠AGD，
∵∠EOH=∠AOG，
∴∠EHG=∠EAG=90°，
∴EB=GD且EB⊥GD；
（2）如图2，连接BD，BD与AC交于点O，

∵AB=AD=2，在Rt△ABD中，DB=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴AO=$\sqrt{2}$，
∴OG=OA+AG=$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
∴EB=GD=$\sqrt{O{G}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{8+2}$=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，利用三角形全等是解题的关键．