Question

6．已知正数a，b，c满足$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=32}\\{\frac{a+b-c}{ab}+\frac{a+c-b}{ac}+\frac{b+c-a}{bc}=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，试问：以$\sqrt{a}$，$\sqrt{b}$，$\sqrt{c}$为边能否组成三角形？如果能，请求出这个三角形的最大角的度数；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析 根据三角形三边关系和直角三角形的判定解答即可．

解答 解：假设a+b=c，把a+b=c代入$\frac{a+b-c}{ab}+\frac{a+c-b}{ac}+\frac{b+c-a}{bc}=\frac{1}{4}，0+\frac{2a}{ac}+\frac{2b}{bc}$=$\frac{1}{4}$，
可得c=16，符合a+b+c=32，
同理，假设a+c=b，可得a+c=b=16；
假设b+c=a，可得b+c=a=16，
所以以$\sqrt{a}$，$\sqrt{b}$，$\sqrt{c}$为边的三角形满足a+b=c，即构成直角三角形，
所以最大角的度数是90°．

点评 此题考查三角形的边角关系，关键是假设a+b=c，b+c=a或a+c=b得出三边关系，进而根据直角三角形的判定解答．